12.2.Условия устойчивости для систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка:

(12.5)

Характеристическое уравнение этой системы

(12.6)

является квадратным уравнением и имеет два корня, которые могут быть действительными – различными или совпадающими – комплексными.

Рассмотрим всевозможные случаи.

1.

Так как собственные значения различны, то им соответствуют два различных собственных вектора и общее решение имеет вид:

.

Исследуем на устойчивость тривиальное решение, то есть точку покоя, расположенную в начале координат.

Пусть . Эти равенства могут трактоваться как параметрические уравнения соответствующей траектории. Разделив первое из них на второе, получим, то есть данная траектория является прямой линией.

Аналогично, полагая , получим:

. Значит, и эта траектория – прямая. Заметим, что в обоих случаях .

Рассмотрим теперь всевозможные варианты, когда .

Будем считать, что . Тогда, следовательно,

.

Это означает, что все траектории, кроме той, что определяется значением , имеют общую касательную и с ростомнеограниченно приближаются к началу координат, так как и в этом случае(рис. 10).

Таким образом, точка покоя такого типа асимптотически устойчива в целом. Она называется устойчивым узлом.

2.

Анализ траекторий в этом случае аналогичен предыдущему. Точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивым узлом (рис. 11).

3.

Так как общее решение системы в этом случае имеет вид , то приточки на всех траекториях (кроме той, которая соответствует) удаляются от точки покоя.

Если , то аналогично п.1 имеем, то есть траекторией является прямая линия, вдоль которой точки приближаются к началу координат.

Если , то– прямая, вдоль которой точки удаляются от точки покоя (рис. 12). Точка покоя такого типа неустойчива, она называется седлом.

4. – корни характеристического уравнения (12.6) чисто мнимые.

Общее решение системы в этом случае имеет вид (см.гл.11):

,

где– некоторые линейные комбинации произвольных постоянных,.

Так как задаются периодическими функциями, то траектории – замкнутые линии (рис. 13). Можно показать, что это эллипсы с центром в начале координат. В этом случае точка покоя устойчива, но не асимптотически. Она называется центром.

5. .

Решение в этом случае имеет вид:

.

Если изменится на величину периода, то точка на траектории вернется не в прежнее положение, а станет ближе к точке покоя, так каки, то есть движение будет происходить по спиралям (рис.14). Такая точка покоя асимптотически устойчива в целом и называется устойчивым фокусом.

6. .

Движение будет происходить также по спиралям, но в обратную сторону (рис.15). Точка покоя в этом случае называется неустойчивым фокусом.

7.

В этом случае решение системы имеет вид (см.гл.11):

.

Для системы второго порядка , поэтому

,

а – прямая линия, значит, что все траектории имеют касательную.

Если , тои касательнаясама является траекторией (рис. 16). Заметим, что так как, то с ростомточки всех траекторий стремятся к началу координат. Точка покоя такого типа называется вырожденным устойчивым узлом.

8.

В этом случае точка покоя является неустойчивым вырожденным узлом (рис.17).

9. .

Общее решение системы имеет вид: .

Если то– точки покоя, расположенные на прямой.

Если то, или,

то есть траекториями являются прямые линии, параллельные прямым (рис. 18). С ростомточки на этих траекториях приближаются к точкам на прямой, потому что. В этом случае точка покоя устойчива, но не асимптотически.

10. .

Точка покоя такого типа неустойчива вследствие того, что .

11. .

Общее решение имеет вид и точка покоя неустойчива.

Вывод. Для системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами справедливо следующее:

1. если у всех корней характеристического уравнения (12.6) , то тривиальное решение системы асимптотически устойчиво в целом, откуда следует, что все частные решение также асимптотически устойчивы в целом;

2. если хотя бы один корень имеет , то тривиальное решение неустойчиво;

3. если среди корней есть простые корни с , а остальные корни имеют, то тривиальное решение устойчиво, но не асимптотически;

4. если среди корней есть кратные корни с , то решение практически всегда неустойчиво;

5. вышесказанное справедливо не только для систем дифференциальных уравнений, но и для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами -го порядка.