Глава 2. Векторная алгебра векторы и линейные операции над ними

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).

А – начало, В – конец вектора .

Рис. 1

Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется упорядоченная пара точек.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длина вектора – расстояние между его началом и концом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.

Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя длину. Такие векторы называются свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым:

–нулевой вектор: его направление не определено, а длина .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы иназываютсяколлинеарными, если они лежат на параллельных прямых: .

Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Линейными называются операции сложения векторов и умножения на число.

1. Сложение

а) Правило параллелограмма (рис.2): начала исовмещаются в одной точке, и– диагональ параллелограмма, построенного наи.		б) Правило треугольника (рис. 3): начало совмещается с концом, инаправлен от началак концу.
Рис. 2		Рис. 3

в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).

Вектор замыкает ломаную линию, построенную таким образом: конец предыдущего вектора совмещается с началом последующего инаправлен от началак концу.

Рис. 4

2. Умножение на число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора на числоназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

а) ;

б) ;

в) , если,, еслии, если.

Произведение называется вектором,противоположным вектору . Очевидно,.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью называется сумма вектораи вектора, противоположного:(рис. 5).

Рис. 5

Начала исовмещаются в одной точке, инаправлен от концак концу.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

1.	2.
3.	4.
5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результат конечного числа линейных операций над векторами называется их линейной комбинацией:,– линейная комбинация векторовс коэффициентами.

ПРИМЕР. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства. Представить как линейную комбинацию

(рис. 6).

Рис. 6

. Так как точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то из правила параллелограмма следует, что.

По правилу треугольника , то есть­– линейная комбинацияс коэффициентами

ТЕОРЕМА 1. Пусть и– неколлинеарные векторы. Тогда любой компланарный с ними векторможет быть представлен в виде

, , (2.1)

где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом.

Представление вектора в виде (2.1) называетсяразложением его по двум неколлинеарным векторам.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Пусть среди есть два коллинеарных, например:

2. Пусть среди коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех векторов в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпадает с, а стороны параллельны прямым, на которых лежати(рис. 7).

Тогда но

Рис. 7

Докажем единственность разложения. Предположим, что иТогда, вычитая одно равенство из другого, получим:. Если, то, что противоречит условию. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Пусть – некомпланарные векторы. Тогда любой векторможет быть представлен в виде

, , (2.2)

причем единственным образом.

Представление вектора в виде (2.2) называетсяразложением его по трем некомпланарным.

Доказать самостоятельно.