Особые случаи расположения плоскости

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39).

1) координаты точкиудовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало координат.

2) , так как. Но, значит, плоскость.

3) , так как. Значит, плоскость.

4) , так как. Значит, плоскость.

5) проходит через.

6) проходит через.

7) проходит через.

8) или.

9) или.

10) или.

11) – плоскость.

12) – плоскость.

13) – плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит через начало координат. Тогда она отсекает на координатных осях отрезки(рис. 46). Выведем уравнение такой плоскости.

z C c О B y A b a x Рис. 46

Рассмотрим –общее уравнение плоскости. Так как , то . Аналогично ;

.

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим

(3.40)

40. – уравнение плоскости в отрезках.

ПРИМЕР. Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями

z 3 -6 О 4 y х Рис. 47

Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40): – уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47) .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: . Известно, что через них проходит единственная плоскость.

Чтобы вывести ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости . Тогда– компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю:. Тогда по формуле (2.9) получим

(3.41)

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы иколлинеарны и их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что координаты любой точкиудовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую илюбую точку можно провести плоскость.

ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

.

.

Угол между плоскостями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями при их пересечении. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен илирадиан.

Рассмотрим плоскости и

.

Очевидно,

или .

Если , то– условие перпендикулярности плоскостей.

Если , то– условие параллельности плоскостей.

ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями

.

плоскости перпендикулярны.