Уравнение прямой с направляющим вектором

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой ненулевой вектор , параллельный прямой, называется ее направляющим вектором.

Если – некоторая точка на прямой, а– вектор, параллельный ей, то, во-первых, черезпараллельнопроходит единственная прямая, а, во-вторых, для любой точкивектор.Таким свойством обладают только точки, лежащие на .

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск . В этой системе координат.

Пусть – произвольная точка на . Тогда иЗапишем условие коллинеарности векторов:

. (3.3)

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.

Если , то– направляющий вектор прямой, поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

. (3.4)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть – направляющий вектор прямой, ине параллельна оси, тогда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Угловым коэффициентом прямой называется число

Очевидно, что если – угол между прямойи положительным направлением оси ОХ, то.

Рассмотрим уравнение (3.3) прямой с направляющим вектором :

.

Отсюда следует (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку :

(3.5)

Из (3.5) получим . Обозначим, тогда

. (3.6)

(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми на плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя прямыми на плоскости называется любой из двух смежных углов, образованных ими при пересечении. Если прямые параллельны, то угол между ними равен илирадиан.

Пусть прямые заданы общими уравнениями.

y О x Рис. 23

или . (3.7)

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

.

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

y О x Рис. 24

Так как (рис. 24 ), то . Условие параллельности прямых: . Условие перпендикулярности: . Так как не существует, то.

ПРИМЕР. Даны вершины треугольника:. Написать:

а) уравнение медианы , б) высоты, в) найти угол междуи(рис. 25).

A B M H C Рис.25

а) – середина ВС (см. (2.4)). Напишем уравнение (3.4) прямой, проходящей через две точки:. Вектор– направляющий вектор прямой.

Перепишем уравнение медианы в общем виде:

–нормаль АМ.

б) – нормаль. Уравнение прямой (3.1), проходящей через точкуперпендикулярно вектору:

в) . По формуле (3.7)