Смешанное произведение веторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением векторов называется число– скалярное произведениена векторное произведение.

Смешанное произведение обозначается так:

Пусть в некоторой пдск

Обозначим

Тогда

по 7 свойству определителей.

Таким образом,

(2.9)

h S Рис. 21

По определению скалярного произведения Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21) –площадь параллелограмма, –высота параллелепипеда, –объем параллелепипеда.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, при этом , если– правая тройка, и, если– левая тройка.

.

СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: компланарны

Доказательство:

а) компланарны

Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому

б) компланарны.

.

Во всех трех случаях компланарны: в частности, если, топараллелен плоскости векторов, что означает их компланарность.

2. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не изменяет его величины. Перестановка соседних сомножителей изменяет его знак, не изменяя абсолютной величины:

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:

Доказательство: из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:

4. Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей.

–линейность по первому сомножителю.

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей.

ПРИМЕР. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , и его высоту, перпендикулярную плоскости векторови.

Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому

.

Отсюда (заметим, что– левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно).

Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой

По формуле (2.7)

Глава 3. Аналитическая геометрия прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск уравнением первой степени относительно двух переменных.

Если – некоторая точка на прямой, а– вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, черезперпендикулярнопроходит единственная прямая на плоскости, а, во-вторых, для любой точкивектор.Таким свойством обладают только точки, лежащие на .

y О x Рис. 22

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск . В этой системе координат . Пусть – произвольная точка на . Тогда (рис. 22 ) Так как, то по свойству 5 скалярного произведения– векторное уравнение прямой .

, поэтому по формуле (2.5) получим

. (3.1)

Координаты точек, лежащих на прямой , связаны соотношением (3.1). Если же , тоне перпендикулярен, значит, координатыне будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому (3.1) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменныхи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой ненулевой вектор , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью.

(3.1) . Обозначая, получим

. (3.2)

(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости, – нормаль.