8.4. Сжатие графики

Формат JPEG, о котором было сказано в разделе 8.3, основан на применении дискретного косинусного преобразования (ДКП). Суть метода в том, что значения цвета представляются как отсчеты сигнала. Над этим сигналом осуществляют дискретное преобразование Фурье и вместо отсчетов сигнала (изображения) хранят или передают коэффициенты преобразования. При этом оказывается возможным отбросить малозначащие коэффициенты разложения и, тем самым, сократить объем данных. Конечно, в этом случае данные восстанавливаются с потерями, но компромисс между степенью сжатия и качеством восстановленного изображения во многих случаях может быть найден.

Для понимания метода ДКП потребуются некоторые сведения из теории сигнала. Нас будет интересовать непрерывный периодический сигнал a(t) с периодом T. Можно бесчисленными способами представить его в таком виде:

(8.1)

или в компактной форме

. (8.2)

Можно подобрать систему функций так, чтобы:

• ни одна из них не могла быть получена линейной комбинацией других ;

• за скалярное произведение принимается ;

• они попарно ортогональны и нормированы .

Такой выбор системы функций дает основание ассоциировать их с координатамиN – мерного пространства, сигнал a(t) можно понимать как точку в N - мерном функциональном пространстве, а коэффициенты _s – как значения координат этой точки. Систему функций ,s=0, 1, …, N-1 называют базисом пространства сигналов, каждую из функций – базисной, представление сигнала в форме композиции базисных функций – разложением по заданному базису.

Таким образом, непрерывный сигнал a(t) представляется (заменяется) точкой в N – мерном пространстве , а каждую координату этой точки можно найти так:

. (8.3)

Существует множество систем функций, обладающих свойствами базиса. В частности базис образует система функций вида:

. (8.4)

Разложение сигнала по этому базису называют разложением Фурье, а нахождение коэффициентов разложения – преобразованием Фурье. Преобразование Фурье выполняется по формуле:

. (8.5)

В дальнейшем будем рассматривать периодический сигнал, который принимает значения в дискретные моменты времени , где,N – количество разбиений интервала T. Тогда, непрерывный сигнал a(t) заменяется на его отсчеты , взятые посредине отрезков разбиенияt, т.е.

a = { a_k }, k = 0, 1, … N-1,

а формулы преобразования Фурье приобретают такой вид:

, (8.6)

. (8.7)

Это прямое ДКП. Оно выполняется по базису

, (8.8)

в результате получают коэффициенты разложения сигнала по этому базису

,s = 0, 1, … N-1.

Теория утверждает, что ДКП обратимо, т.е.:

. (8.9)

Таким образом, если сигнал задан своими отсчетами в дискретные моменты времени, то формулы (8.6) и (8.7) – это его ДКП (коэффициенты разложения по дискретному базису (8.8)), а формула (8.9) – обратные ДКП (восстановленные отсчеты сигнала по его коэффициентам разложения).

В выражении (6.8) элементы есть дискретные отсчеты базисных функций, где- номер базисной функции,- номер отсчета дискретизации базисной функции. Их значения образуют матрицуNN, которую обозначим .

Прямое и обратное ДКП можно записать в матричной форме: