7.4 Общие принципы использования избыточности

Способность кода обнаруживать и исправлять ошибки обусловлена наличием в нем избыточных символов.

На вход кодирующего устройства поступает последовательность из k информационных двоичных символов. На выходе ей соответствует последовательность из n двоичных символов, причем n>k.

Всего может быть 2^k различных входных и 2ⁿ различных выходных последовательностей.

Из общего числа 2ⁿ выходных последовательностей только 2^k последовательностей соответствуют входным. Их называют разрешенными кодовыми комбинациями.

Остальные 2ⁿ-2^k возможных выходных последовательностей для передачи не используются. Их называют запрещенными кодовыми комбинациями.

Искажения информации в процессе передачи сводятся к тому, что некоторые из передаваемых символов заменяются другими – неверными.

Так как каждая из 2^k разрешенных комбинаций в результате действия помех может трансформироваться в любую другую, то всегда имеется 2^k*2ⁿ возможных случаев передачи. В это число входят:

1. 2^k случаев безошибочной передачи;

2. 2^k(2^k –1) случаев перехода в другие разрешенные комбинации, что соответствует необнаруженным ошибкам;

3. 2^k(2ⁿ – 2^k) случаев перехода в неразрешенные комбинации, которые могут быть обнаружены.

Следовательно, часть обнаруживаемых ошибочных кодовых комбинаций от общего числа возможных случаев передачи составляет

.

Пример 7.1. Определить обнаруживающую способность кода, каждая комбинация которого содержит всего один избыточный символ (n=k+1).

Решение. 1. Общее число выходных последовательностей составляет 2^k+1, т.е. вдвое больше общего числа кодируемых входных последовательностей.

2. За подмножество разрешенных кодовых комбинаций можно принять, например, подмножество 2^k комбинаций, содержащих четное число единиц (или нулей).

3. При кодировании к каждой последовательности из k информационных символов добавляют один символ (0 или 1), такой, чтобы число единиц в кодовой комбинации было четным. Исполнение любого нечетного числа символов переводит разрешенную кодовую комбинацию в подмножество запрещенных комбинаций, что обнаруживается на приемной стороне по нечетности числа единиц. Часть опознанных ошибок составляет

.

Любой метод декодирования можно рассматривать как правило разбиения всего множества запрещенных кодовых комбинаций на 2^k пересекающихся подмножеств M_i, каждая из которых ставится в соответствие одной из разрешенных комбинаций. При получении запрещенной комбинации, принадлежащей подмножеству M_i, принимают решение, что передавалась запрещенная комбинация A_i. Ошибка будет исправлена в тех случаях, когда полученная комбинация действительно образовалась из A_i, т.е. 2ⁿ-2^k cлучаях.

Всего случаев перехода в неразрешенные комбинации 2^k(2ⁿ – 2^k). Таким образом, при наличии избыточности любой код способен исправлять ошибки.

Отношение числа исправляемых кодом ошибочных кодовых комбинаций к числу обнаруживаемых ошибочных комбинаций равно

.

Способ разбиения на подмножества зависит от того, какие ошибки должны направляться конкретным кодом.

Большинство разработанных кодов предназначено для корректирования взаимно независимых ошибок определенной кратности и пачек (пакетов) ошибок.

Взаимно независимыми ошибками называют такие искажения в передаваемой последовательности символов, при которых вероятность появления любой комбинации искаженных символов зависит только от числа искаженных символов r и вероятности искажения обычного символа p.

При взаимно независимых ошибках вероятность искажения любых r символов в n-разрядной кодовой комбинации:

_,

где p – вероятность искажения одного символа; r – число искаженных символов; n – число двоичных символов на входе кодирующего устройства; – число ошибок порядка r.

Если учесть, что p<<1, то в этом случае наиболее вероятны ошибки низшей кратности. Их следует обнаруживать и исправлять в первую очередь.