0. 4.6. Комплексная форма

В математическом отношении удобнее оперировать комплексной формой ряда Фурье. Её получают, применяя преобразование Эйлера

(4.4)

(4.5)

Комплексная форма имеет вид:

(4.6)

где (4.7)

является комплексной амплитудой k-й гармоники для k=0, 2, 3,…

Формулы (4.6) и (4.7) именуются парой преобразования Фурье. Формула (4.6) даёт временное описание сигнала x(t), если известны комплексные амплитуды C_k её гармонических составляющих. Совокупность операций, в результате выполнения которых могут быть определены гармоники периодической функции x(t), называется гармоническим анализом.

0. 4.7. Определение погрешности

При разложении периодических функций на сумму гармоник на практике часто ограничиваются несколькими первыми гармониками, а остальные не учитываются. Приближенно представляя функцию x(t) с помощью тригонометрического многочлена вида

(4.8)

можно получить большую или меньшую ошибку представления в зависимости от способа выбора коэффициентов многочлена . Оценить величину ошибки наиболее удобно с помощью средней квадратичной погрешности, определяемой для периодической функции x(t) с периодом T=2 равенством:

(4.9)

Совокупности коэффициентов a_k, b_k, k=1, 2, 3,…, разложения периодической функции x(t) в ряд Фурье называется частотными спектрами этой функции.

Совокупность амплитуд и соответствующих частот гармоник принято называть спектром амплитуд.

Совокупность амплитуд и соответствующих частот гармоник называется спектром фаз.

Спектр амплитуд и спектр фаз однозначно определяют сигнал. Однако для многих практических задач достаточно ограничиться спектром амплитуд.

Характерной особенностью спектра периодического сигнала является его прерывистость (дискретность). Расстояние между соседними спектральными линиями одинаковое и равно частоте основной гармоники.

Пример 4.1. Рассмотрим спектр периодического сигнала на примере амплитудно-модулированного гармонического сигнала.

.

При амплитудной модуляции амплитуда изменяется по определенному закону

,

где А₀ – постоянная составляющая амплитуду; А – наибольшее изменение амплитуды при модуляции; f(t) – нормированная функция (изменяется в пределах от –1 до +1).

Так как модулируемый параметр сигнала (в данном случае амплитуда) является непосредственным переносчиком, то функция f(t) выражает закон изменения во времени передаваемого сообщения. Амплитудно-модулированный гармонический сигнал как функция времени в общем случае имеет вид

,

где - глубина амплитудной модуляции.

Рассмотрим частный случай, когда функция f(t) изменяется по гармоническому закону

Тогда

То есть спектр сигнала, изображенного на рисунке, состоит из трех гармонических составляющих: несущей с частотой и двух боковых:

• нижней с частотой

• верхней с частотой .

Ширина спектра сигнала .

Как мы видим, в данном случае для нахождения частотной модели не потребовалось использование аппарата Фурье, поскольку другой путь поиска амплитудно-частотной характеристики напрашивается сам по себе и он довольно простой и быстрый.