27 Условие Лежандра

Чтобы определить max или min достигается экстремали используется условии Лежандра. Т.к первая вариация ф-ла на экстремали обращается в 0, знак приращения ф-ла при малых определяется по его 2 вариации, т.еобеспечиваетmin если .

Рассмотрим ф-ию: .

По правилу ф-ия сложного аргумента запишем:

, .

Интегрируем по частям.

Обозначим ,,,.

Проинтегрируем среднее слагаемое по частям:

тогда получаем: .

Для выполнения условия необходимо чтобы.

Допустим, что это не так, т.е , тогда можно подобрать ф-иютаким образом, чтобы(мало значение, но резко изменяется), тогда 2-е слагаемое будет превалировать и подынтегральная ф-ия будет отрицательна, что противоречит исходному выражению.

Необходимое условие Лагранжа.

Для достижения на некоторой экстремали min ф-ла необходимо чтобы во всех точках экстремали выполнялось условие: .

В точке где выполняется равенство возможны изломы экстремали.

Если (тождественно ровна нулю), т.е ф-илG не зависит от или зависит линейно, то 2я производная для экстремали не существует и ф-лI явл вырожденным .

Ф-л достигает min при условии: .

28 Функционал со многими неизвестными

Критерий оптимальности явл. Функционал вида J=Функционал зависит от m функции одного аргумента и их производных. Ui(t0), Ui(T) i=1,m граничные точки. Есть класс Л1(U) найти функции Ui(t) где i=1,m и удовлетворяет вариационной задаче. J=min Ui(t) Л1(U). Для каждой неизвестной функции получаем систему уравнений Эйлера: i=1,m

Система формирует минимизацию функционалов. Условие Лежандра формируется

Г=1-я строка [] 2-я строка[] последняя [] Для достиженияmin экстремали необходимо |Г|0 Все угловые миноры этой матрицы были неотрицательны.

29 Задачи на условный экстремум

В вариационных задачах, возникших при решении проблем управления минимизации функционал обычно зависит от нескольких неизвестных функции. Эти функции связаны некоторыми соотношениями уравнениями связи, такие задачи наз. Задачи на условный экстремум. J= функционал зависит от m функции UiЛ1(U), граничные условия Ui(t0), Ui(T) i=1,m Уравнения связей между переменными j(t,U1,U2…Um)=0, j(t,U1,U2…Um, U’1…U’m)=0. li=const j=1,s число ограничений в уравнениях связей j<m. Вариационная задача сводится чтобы среди возможных решений уравнения связей нужно отыскать то на котором функционалом G достигается min Граничные условия не должны противоречить уравнениям связей. Задача на условный экстремум решается с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа 1) Составляется вспомогательный функционал J=, G*=G+; j=1,s 2) составляется система уравнений Эйлера относительно переменных Ui 3) Решается система урав. Эйлера совместно с уравнениями связей. Образуется замкнутая система из m+s ура-й для такого же кол-ва уравнений.

30 Решение задач оптимального управления вариационного исчисления

При оптимальном управлении 1) ОУ описывается системой ДУ y’i-i(y1,y2..yn,U)=0 i=1,n 2) Заданы начальное и конечное состояние объекта 3) Задан критерий оптимальности J=необходимо найти управлениеU’(t) Л(U), на котором функция G достигается min, а ОУ переводится из заданного начального состояния в заданное конечное состояние, по траектории  области допустимых значений. 1) Составляется вспомогательный функционал J*= U(t), j(t),yi(t) – независим. переменные. 2) Относительно U(t) и yj составляется уравнения Эйлера. 3) Добавляются уравнения ОУ.y’j-j(y1…ym,U)=0 Получаем систему из 2n+1 уравнения. Уравнения ОУ можно трактовать как ур-е Эйлера относительно j. Тогда систему можно переписать ;;y’i-j(y1…ym,U)=0 Решая системы 2n+1 уравнений дает возможность найти решения U’(t) которое обеспечивает min функционал.