18 Оболочки . Лаплас

Лекция 18

Оболочки. Безмоментная теория

1. Постановка задачи и математическая модель

Оболочка – деталь, у которой один размер (толщина t) меньше двух других. Примеры – тонкостенная труба, сосуд иди резервуар, ведро, корпус ракеты.

Примером точного решения является задача Ламе для трубы. Пренебрегая толщиной, получаем приближенное решение для напряжений в срединной поверхности радиусом R

.

Т.е. напряжениями по нормали к поверхности можно пренебречь в сравнении с нормальными напряжениями в срединной поверхности. Напряжения в сечении ввиду малости t постоянны, т.е в сечениях не возникают изгибающие моменты (безмоментная теория). Расчет при таких допущениях, обобщенный для осесиметричных оболочек, предложен Лапласом. Рассмотри его подробно.

Осесиметричная оболочка – симметрична относительно оси как геометрически, так и по характеру приложения внешней нагрузки – давления. Например, боковая поверхности ведра, стоящего на плоскости - осесиметрична, а когда его поднимают за дужку – не осесиметрична.

Срединная поверхность имеет два радиуса кривизны: в цилиндрическом сечении и в меридиональном(осевом) сечении. Например, у трубы . Схема напряжений для бесконечно малого элементы, выделенного двумя осевыми и двумя цилиндрическими сечениями, представлена на рисунке.

Составим уравнение равновесия сил вдоль нормали :

.

После преобразования получаем уравнение Лапласа

.

Второе уравнение можно получить, проектируя силы в цилиндрическом сечении на ось оболочки с учетом силы Р_д на днище

.

После преобразования

.

2. Примеры

• Шаровая оболочка радиусом R при постоянном давлении

• Цилиндрическая оболочка радиусом R с днищами при постоянном давлении

• Оболочка - резервуар радиусом R и высотой Н, заполненный жидкостью удельным весом γ

• Полусферическая оболочка-резервуар, заполненная жидкостью удельным весом γ

Подставляем в выражение для . Для упрощения вычислений находим напряжения в нижней части, где Р_д =0, т.е изменяем направление интегрирования

Из уравнения Лапласа

.

Значения всегда положительны. Значения при φ=0 положительны и раны , а при φ=π/2 – отрицательны (верхнее «кольцо» сжимается под тяжестью жидкости). При этом эквивалентные напряжения максимальны и равны . В нижней точке , т.е. такое же как в сфере под давлением

• Цилиндрическая оболочка-резервуар, заполненная жидкостью удельным весом γ

.

Оба напряжения положительны. Максимумы наблюдаются в противоположных точках по z. Поэтому опасные эквивалентные напряжения равны максимуму из и зависят от величины Н. При равных объемах сферического и цилиндрического резервуаров . Максимальные эквивалентные напряжения равны.

При относительно большой толщине оболочки изгибающими моментами в сечении нельзя пренебречь. Моментную теорию осесиметричных оболочек рассмотрим на примере расчета круглых осесиметричных пластин частного случая оболочек.

4

Сопротивление материалов. Конспект лекций.