Примеры

Пусть выдвинуты гипотезы о распределении генеральной совокупности:

1) по показательному закону

где - оценка параметра показательного закона распределения по выборке;. Здесь- оценка математического ожидания;

2) по нормальному закону ,

где - оценка математического ожидания,- оценка дисперсии по выборке.- оценка среднего квадратичного;- функция Лапласа (табл. А1);

3) по закону Релея ,

где - оценка параметра закона Релея по выборке :;

4) по равномерному закону ,

где - оценки крайних значений выборки, которые находятся из системы.

Случайная величина , независимо от вида закона распределения генеральной совокупности, при достаточно большихимеет распределениес числом степеней свободы, где- число интервалов, r – число параметров распределения, определенных по выборке.

Задаваясь уровнем значимости , по таблице А2 определим критическое значение, такое, что. При большихраспределено асимптотически нормально и можно пользоваться таблицами нормального закона. Если, то выдвинутая гипотеза о виде закона распределения генеральной совокупности не отвергается на уровне значимости(гипотеза не противоречит опытным данным), если же, то гипотеза отвергается на уровне значимости.

Замечание. Критерий Пирсона обладает большей мощностью, если интервалы содержат примерно равное число элементов, при этом длины интервалов не обязательно должны быть равными. Поэтому при использовании критерия Пирсона нужно произвести новое разбиение данной выборки на интервалы, содержащие примерно равное число элементов.

Замечание. Все расчеты вести с тем количеством знаков, с каким даны значе-

ния случайной величины (можно добавить один дополнительный знак).

Пример выполнения и оформления лабораторной работы

Дана выборка, содержащая 200 элементов (см. лаб. раб. 1, табл. 1). Упорядочим выборку. Наименьшее число равно 0,000 9 94, наибольшее число равно

3,666 642. Интервал (0,0001; 3,700) разделим на 20 равных частей. Границы интервалов занесем в графу 2 таблицы 1. Число элементов, попавших в i-й интервал, занесем в графу 3. Два числа - 3,014 916, 3,666 642, резко отличающиеся от других и полученные, видимо, за счет грубых ошибок опыта, можно отбросить. Таким образом, . Объединим интервалы таким образом, чтобы новые интервалы содержали не менее 8-10 элементов. Новые границы интервалов, а также число элементов, попавших в уточненные интервалы, поместим в графы 4 и 5, в графу 6 поместим частоты попаданий в каждый интервал. По полученным данным построим гистограмму (см. лаб. раб. 1, рис.2,). Вид гистограммы дает право выдвинуть гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности.

Оценку параметра показательного закона можно определить следующим обра-

зом: .- число уточненных интервалов.

Для удобства значения поместим в графу 8, значения

предварительно были помещены в графу 7. Оценка математического ожидания , оценка параметра показательного закона. Для вычисления величины- меры расхождения теоретического и статистического распределений - вычислим теоретические вероятности попаданий значений случайной величины в– й интервал по формуле (6). Значения для каждогозанесем в графу 11. Вычисленное значение.

В данном примере по выборке определен один параметр . Следовательно,и число степеней свободы распределения. Зададимся уровнем значимости. По таблице А2 находим. Вычисленное значениеменьше, следовательно, гипотеза не отвергается с уровнем значимости.