Нахождение числовых характеристик выборки

Среднее значение выборки вычисляется по формуле

, (4)

где – середины уточненных интервалов (табл. 2, гр. 7),– частоты попадания в-й интервал (гр. 6). Промежуточные результатыможно поместить в

графу 9.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле

(5)

или . (6)

Промежуточные значения можно поместить в графу 10.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесс вычисляются по формулам

, (7)

где – выборочные центральные моменты 3 и 4-го порядка соответственно:

(8)

или , (9)

(10)

Промежуточные значения можно поместить в графы 11 и 12.

Замечание. Более точными будут выборочные характеристики, полученные по всей выборке. Например,

(11)

Аналогично вычисляются значения .

Выборочная медиана может быть определена по всей упорядоченной вы-

борке следующим образом: если объем выборки n - нечетное число, то

; (12)

если n четное, то , (13)

где - целая часть.

Для выборки из генеральной совокупности значений непрерывной случайной величины выборочная медиана может быть определена по графику эмпирической функции распределения как абсцисса точки с ординатой 1/2.

Найденные числовые характеристики выборки могут служить оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Пример выполнения и оформления лабораторной работы

Дана выборка, содержащая двести элементов (табл.1). Упорядочим выборку. Наименьшее число равно 0,000 994, наибольшее 3,666 642. Интервал (0,000; 3,700)

разделим на 20 равных частей. Границы интервалов занесем в графу 2 таблицы 2.

Число элементов, попавших в –й интервал, занесем в графу 3. Два числа - 3,014 916, 3,666 642, резко отличающиеся от других и полученные, видимо, за счет грубых ошибок опыта, можно отбросить. Таким образом,.

Объединим интервалы так, чтобы новые интервалы содержали не менее 8-10 элементов. Новые границы интервалов, а также число элементов, попавших в уточненные интервалы, поместим в графы 4 и 5. В графу 6 поместим частоты попаданий в каждый интервал. Далее таблица 2 заполняется в соответствии с описанием работы.

По полученным данным строится график эмпирической функции распределения (рис.1) и гистограмма (рис.2).

По формулам (4), (6), (7) вычисляются выборочные среднее, дисперсия, коэффициент асимметрии и эксцесс.

Предварительно удобно вычислить следующие суммы:

Тогда .

Выборочную медиану определим по графику эмпирической функции рас-

пределения: .