14

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

I. Определение скалярного произведения. Понятие о евклидовом пространстве.

Введем понятие угла между векторами. Пусть даны два ненулевых вектора и . После совмещения их начал они образуют на плоскости два угла и . Углом между векторами называют тот из углов, который не превосходит .

На рисунке это угол .

Определение: скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Если один из векторов или нулевой, то угол между векторами не определен, а скалярное произведение считается равным нулю.

Понятие скалярного произведения родилось в механике. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа силы определяется равенством: .

Линейное пространство, для элементов которого определена операция скалярного произведения, называют евклидовым пространством. Евклидово пространство размерностью n принято обозначать буквой .

II. Геометрические свойства скалярного произведения.

Условия перпендикулярности двух векторов.

Знак скалярного произведения позволяет оценить взаимное расположение перемножаемых векторов, если среди них нет нулевых.

Если , то, поскольку , и, следовательно, угол между векторами острый ().

Если , то , и угол между векторами тупой.

Если же , то , т.к. , т.е. векторы ортогональны ().

И обратно, если векторы ортогональны, то .

Таким образом, нами доказана следующая  теорема:

необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Указанное геометрическое свойство скалярного произведения проиллюстрировано следующим примером из механики.

- движущая сила

- сила сопротивления

- сила не производит работу

III. Алгебраические свойства скалярного произведения.

К алгебраическим свойствам скалярного произведения относятся следующие:

1) коммутативность - непосредственно следует из определения, т.к. не различаются углы между векторами и и векторами и ;

2) ассоциативность:

,

, т.к. векторы и коллинеарны;.

3) дистрибутивность: .

4) , если - ненулевой вектор

, если - нулевой вектор.

Из формулы (1) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Отсюда и вытекает справедливость свойства (4).

Свойства (2) и (3) отражают линейность скалярного произведения и имеют фундаментальное значение, т.к. позволяют проводить операции с векторными многочленами по обычным правилам алгебры.

Пример . Вычислить , если

.

IV. Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть векторы и заданы своими координатами в ортонормированном базисе . Это значит, что могут быть записаны следующие разложения

Найдем скалярное произведение векторов:

в силу свойств (2) и (3) можно раскрыть скобки и записать

Вычислим скалярные произведения базисных векторов. Поскольку базис ортонормированный, то длины векторов , а углы между ними .

В общем случае условием ортонормированности базиса является требование

, где символ Кронекера .

Тогда скалярное произведение векторов через их координаты можно записать

. (2)

Все выкладки можно записать с помощью так называемых "немых" индексов:

.

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат в ортонормированном базисе.

V. Длина вектора, угол между векторами. Проекция вектора на ось.

Полученное выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе (2) и знание геометрических свойств скалярного произведения позволяют получить выражения через координаты векторов для их длин и углов между ними.

Квадрат длины любого вектора равен скалярному квадрату

.

Тогда длина вектора (3)

Из определения скалярного произведения (1) можно получить выражение для косинуса угла между векторами

(4)

Условие ортогональности векторов и может быть записано в виде

или

В

Если через конец вектора про- вести прямую, перпендикулярную оси Ox, то получившийся вектор называется ортогональной проекцией вектора на ось Ox, а вектор - ортогональной составляющей вектора , причем .

ведем понятие ортогональной проекции вектора на ось.

Если ось Ox задается некоторым вектором , то ортогональная проекция вектора на эту ось может быть найдена с помощью скалярного произведения. Из получим , тогда

. (5)

Вектор коллинеарен вектору и имеет длину равную и может быть представлен в виде Здесь вектор - единичный вектор в направлении оси Ox .

Необходимо еще раз подчеркнуть, что соотношения (2), (3), (4) и (5) получены нами в предположении, что векторный базис является ортонормированным. В противном случае эти соотношения недействительны.

Пример: Пусть (базис нормирован), но . Тогда

Найдем, чему равны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат:

Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям этого вектора на соответствующие оси координат.

Косинусы углов между вектором и базисными векторами называют направляющими косинусами, они могут быть найдены по следующим формулам:

(6)

Задание векторов с помощью направляющих косинусов широко используется в теоретической механике.