128

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

I. Определение дробно-рациональной функции. Простейшие дроби.

Дробно-рациональной функцией называется функция вида

, (1)

где P_m(x) , Q_n(x) - многочлены степени m и n соответственно. В дальнейшем считаем, что коэффициенты этих многочленов - действительные числа.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , то дробь (1) называют правильной. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. , то дробь называют неправильной. В последнем случае, выполняя деление числителя на знаменатель, дробь (1) можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Дроби вида

1. , 2. , 3. , 4.

называют простейшими дробями.

II. Разложение правильной дроби на простейшие.

Метод неопределенных коэффициентов.

Покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно предс-

тавить как алгебраическую сумму простейших дробей.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные и квадратичные множители. Представим в виде такого разложения знаменатель дроби (1):

(2)

где a₁ , a₂ ,..., a_n - действительные корни многочлена

Q_n(x) кратностей α₁ , α₂ ,..., α_K соответственно, а

квадратные трехчлены соответствуют комплексно

сопряженным корням Q_n(x) кратности β_j .

Тогда дробь (1) можно представить как сумму следующих простейших

дробей:

(3)

Соотношение (3) представляет собой тождество при определенном

выборе постоянных A_i^(j) , M_i^(j) , N_i^(j) . Константы A_i^(j) ,

M_i^(j) и N_i^(j) могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Этот метод состоит в том, что дроби в правой части (3) приводятся к общему знаменателю, который в силу (2) равен Q_n(x) .

Тогда в левой и правой частях (3) получим две дроби с равными знаменателями и следовательно, с равными числителями. Приравнивая P_m(x) к многочлену с неопределенными коэффициентами A_i^(j) , M_i^(j) и N_i^(j) получим систему уравнений относительно A_i^(j) , M_i^(j) , N_i^(j) .

Пример. Разложить на простейшие дробь

Приравняем числители:

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых

степенях x :

x³: 1=A+M 2=2N N=1

x²: 4=A+B+2M+N 2=2M M=1

=> =>

x : 3=A+M+2N A=1-M A=0

x⁰ : 2=A+B+N B=2-A-N B=1

Тогда:

III. Интегрирование простейших дробей.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

1) ;

2) ;

3)

.

Здесь вводилось обозначение >0 .

4)

Найдем I_n :

Получим рекуррентную формулу

,

позволяющую интеграл свести к интегралу .

применяя соотношение (4) n раз, интеграл I_n может быть сведен к интегралу .

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Воспользуемся формулой (4): (m=3)

Тогда:

IV. Правила интегрирования дробно-рациональных функций.

Соотношение (3) лежит в основе интегрирования дробно-рациональ-

ных функций. Сформулируем общие правила интегрирования таких функций:

1) определяем, является ли рассматриваемая дробь правильной или

неправильной; в случае, когда дробь неправильная, представим ее в

виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

2) правильную рациональную дробь представляем как сумму прос-

тейших дробей с неизвестными коэффициентами по формуле (3);

3) коэффициенты (3) находим по методу неопределенных коэффициентов;

4) интеграл от исходной дроби в общем случае представляется как

сумма интегралов от многочлена (если m ≥ n ) и от простейших

дробей.

Пример. Найти неопределенный интеграл

1) интегрируемая дробь является неправильной, поэтому разделим

числитель на знаменатель:

3x³-2 x³-x

3x³-2x 3

3x-2

Тогда

(a)

2) разложим правильную дробь на простейшие:

.

(б)

x² : 0=A+B+C A=2 A=2

x : 3=B-C => 2B=1 =>

x⁰ : -2=-A C=B-3

.

3) с учетом (а) и (б) получим