Математика Геологи(сокращенка) / Тема_14_ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

111

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Необходимый признак экстемума.

Определение: точка называется точкой экстремума функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ею в некоторой окрестности точки P₀ .

Установим необходимый признак или условия, при которых функция достигает в точке экстремума.

Необходимый признак экстремума:

если функция z=f(x,y) дифференцируема при x=x₀, y=y₀ и достигает в ней экстремума, то в этой точке равны нулю ее частные производные:

Доказательство:

Допустим, что z=f(x,y) имеет в экстремум. Согласно определению экстремума функции z=f(x,y) при постоянном y=y₀ как функция одного x достигает экстремума при x=x₀ . Необходимым условием для этого является равенство нулю производной

Аналогично, функция z=f(x,y) при постоянном x=x₀ , как функция одного y, достигает экстремума при y=y₀. Значит

что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции z=f(x,y), называется стационарной точкой функции z=f(x,y) .

Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y)

для стационарной точки принимает вид z=z₀.

Для отыскания стационарных точек функции z=f(x,y) нужно приравнять нулю обе ее частные производные

II. Достаточные условия экстремума. Пусть точка является стационарной точкой функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке значение вторых частных производных функции z:

Если , то функция f(x,y) имеет в точке P₀ экстремум:

максимум при A<0 (C<0),

минимум при A>0 (C>0).

Если , то P₀ не является точкой экстремума.

Если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

III. Правила для отыскания экстремумов.

Для того, чтобы найти точки экстремума и экстремальные значения функции z=f(x,y) в заданной области, нужно:

1) приравнять частные производные к нулю

и найти действительные корни этой системы двух уравнений. Каждая пара корней определяет стационарную точку функции. Среди всех стационарных точек нужно взять те, которые лежат в заданной области;

2) вычислить значение выражения ,

где в каждой стационарной точке.

При этом

а) если , то имеем экстремум: максимум при A<0 (C<0),

минимум при A>0 (C>0).

б) если , то экстремума нет;

в) если , то требуется дополнительное исследование;

3) вычислить экстремальные значения, подставляя в выражение функции координаты точек экстремума.

IV. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y) в некоторой области, рассматриваемой вместе со своей границей.

Если какое-либо из этих значений достигается функцией внутри области, то оно, очевидно, является экстремальным. Но может случиться, что наибольшее или наименьшее значение принимается функцией в некоторой точке, лежащей на границе области.

Из сказанного следует правило:

для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y) в замкнутой области, нужно найти все максимумы или минимумы функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее или наименьшее значения функции на границах области. Наибольшее из всех этих чисел и будет искомым наибольшим значением, а наименьшее - наименьшим.

V. Условный экстремум.

Пусть задана функция z=f(x,y) и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x,y) , в которой значение функции z=f(x,y) является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L. Такие точки P называются точками условного экстремума функции z=f(x,y) на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Очевидно, что точка обычного экстремума является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Но точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума.

Найдем точки условного экстремума функции z=f(x,y) на линии L, заданной уравнением (x,y)=0, которое называется уравнением связи.

Если из уравнения связи можно явно выразить y через x, то, подставляя в уравнение z=f(x,y), получим z как функцию одной переменной:

Найдя значения x, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения y, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Задача на условный экстремум сводится к задаче отыскания экстремума функции одной переменной и в том случае, если уравнение связи задано параметрическими уравнениями:

Если уравнение связи имеет более сложный вид и не удается явно выразить одну переменную через другую, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной.

Запишем полную производную от функции z=f(x,y) по x

где

В точках условного экстремума полная производная должна равняться нулю. Кроме того, переменные и должны удовлетворять уравнению связи. Таким образом, задача сводится к решению системы двух уравнений относительно двух неизвестных:

.

Преобразуем первое уравнение к виду

где - некоторое действительное число. Тогда приходим к трем уравнениям

(1)

относительно неизвестных x, y, .

Уравнения (1) легче запомнить при помощи следующего правила:

для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции z=f(x,y) при уравнении связи (x,y)=0 , нужно образовать вспомогательную функцию где =const и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанный прием решения задач называется методом множителей Лагранжа.

Система (1) дает только необходимые условия экстремума. Не всякая пара x и y из (1) является точкой условного экстремума.