геометрия / Дифференцирование параметрически заданных функций

Дифференцирование параметрически заданных функций:

Пусть зависимость у от х выражена через параметр t:

Э то надо понимать в том смысле, что существует обрат­ная функция для функции x=() и можно написать явную форму зависимости у от х: y=[^–1(x)] {2}. Будем искать производную от у по х через производ­ные от х и у по t. Будем употреблять обозначения y'_x,y''_x,x'_t,...,x''_t,y''_t, где буква внизу означает, по какой пере­менной берется производная. В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка y'_x=dy/dx. Но dy=y'_tdt, dx=x'_tdt. Поэтому y'_x=y'_t/x'_t (где x'_t=0) {3}. Для производной второго порядка получаем

Подобным образом можно получить формулы для про­изводных у⁽ⁿ⁾_x по х порядка n>2 через производные от x и у по t.