Высшая математика. Экзамен. 1-2 семестр / 2 сем / лин. преобраз. евклидовых пространств

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

§1. Ортогональные матрицы

Мы рассмотрим некоторые полезные виды линейных преобразований евклидовых пространств и связанные с ними матрицы.

Определение 8. Квадратная действительная матрица А, для которой А’=А-1, называется

ортогональной матрицей.

Теорема 1. Множество Q всех ортогональных матриц n-ого порядка составляет группу по умножению.

Доказательство. Проверим сначала замкнутость умножения в Q.

Пусть А и В содержатся в Q. Тогда по определению 8 А’=A-1 (1), B’=B-1 (2). Рассмотрим (AB)’. Имеем (AB)’=B’A’=В-1А-1=(АВ)-1 (мы использовали равенства (1) и (2)). Следовательно, АВ Q. Далее, E Q.

Наконец, если A Q, из (1) следует: (А-1)-1=А=(А’)’=(A-1)’. Поэтому A 1 Q. Значит, Q – группа. Теорема доказана.

Свойства ортогональных матриц

частности, всякая ортогональная матрица невырожденная.

Следующие важные свойства ортогональных матриц докажем в теореме 2.

Достаточность. Пусть выполняются равенства (4) и (5).Тогда, очевидно АА’=Е, и поэтому А’=А-1, т.е. А – ортогональная матрица.

Теорема доказана.

Замечание 1. Нетрудно доказать (используя равенство АА’=Е), что свойства, аналогичные (4) и (5) для столбцов матрицы А, также равносильны определению ортогональной матрицы.

Теорема 3. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса е к другому ортонормированному базису е’ конечномерного евклидова пространства Vn является ортогональной матрицей.

ортонормированный базис, то скалярное произведение векторов в нем равно сумме произведений соответствующих координат. Учитывая это и то, что е’ – ортонормированный базис, получаем:

§2. Сопряженные линейные преобразования

В связи с наличием скалярного произведения в евклидовых пространствах можно выделить специальные виды линейных преобразований таких пространств. Мы рассмотрим:

1)сопряженные преобразования;

2)ортогональные преобразования;

3)симметричные преобразования.

Определение 9. Пусть V – евклидово пространство и φ – его линейное преобразование. Линейное преобразование φ* пространства V называется сопряженным с φ, если для любого вектора а из V справедливо равенство: (φ(a),b)=(a, φ*(b)). (1)

Теорема 1. Пусть линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn имеет в некотором ортонормированном базисе е матрицу А. Тогда линейное преобразование φ*, имеющее в этом же базисе матрицу А’, является сопряженным с φ.

Доказательство. Надо проверить для такого φ* справедливость равенства (1). Пусть [a], [b], [φ(a)], [φ*(b)] – координатные столбцы векторов, стоящих внутри скобок, в базисе е. Тогда, как известно, [φ(a)]=A[a] (2), [φ*(b)]=A’[b] (3). Так как базис е ортонормированный, то

(φ(a),b)=[φ(a)]’[b]=(A[a])'[b]=[a]’A’[b] (4). С другой стороны, (a,φ*(b))=[a]’A’[b] (5). Из (4) и (5) следует (1).

Теорема доказана.

Замечание 1. Из данного способа нахождения φ* не видно, будет ли у φ единственное сопряженное преобразование. Однако это легко получается из следующей леммы.

Лемма 1. Пусть φ и ψ – линейные преобразования евклидова пространства, удовлетворяющие для любых a, b V условиям: (a, φ(b))=(a, ψ(b)) (6). Тогда φ = ψ.

Доказательство. Из равенства (6) и свойств скалярного произведения следует: (a,(φ- ψ)b)=0 (7). В частности, взяв a=(φ- ψ)b, получим: ((φ- ψ)b,(φ- ψ)b)=0. Следовательно, (φ- ψ)b=0, т.е. φb = ψb для любого bV. Значит, φ = ψ.

Лемма доказана.

существует единственное сопряженное преобразование.

Доказательство. Существование доказано в теореме 1. Докажем единственность. Пусть наряду с равенством (1) выполняется равенство (φ(a),b)=(a, ψ (b)) (8). Из (1) и (8) следует, что (a, φ*(b)) = (a, ψ (b)). По лемме 1 φ* = ψ.

Следствие доказано.

Замечание 2. Равенство (1) можно переписать в виде (φ*(b),a)=(b,φ(a)). Значит, (φ*)*= φ, поэтому φ и φ* – взаимно сопряженные преобразования.

§3. Ортогональные преобразования

Определение 10. Линейное преобразование φ евклидова пространства V называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. для любого а,b V справедливо равенство: (φ(а), φ(b))=(a,b).

Примеры. Ортогональными преобразованиями плоскости R2 являются поворот плоскости, симметрия относительно оси.

Теорема 1. Линейное преобразование φ евклидова пространства V тогда и только тогда является ортогональным преобразованием, когда φ*=φ-1.

φ(b))=(a,b). Отсюда и из определения сопряженного преобразования следует: (φ(а), φ(b))= (а, φ*( φ(b))) = (а, φ*φ(b))= (a,b)=(а, ε(b)), для любого а, b V. Тогда по лемме 1 φ φ*= ε. Значит, φ*=φ-1 .

Теорема доказана.

Теорема 2. Ортогональное преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn переводит любой ортонормированный базис е1,…,еn (1) в ортонормированный базис.

Доказательство. Рассмотрим систему векторов φ(е1),…, φ(еn) (2). Так как φ – ортогональное преобразование, то (φ(еi), φ(еi))= (еi , еi)=1 (3) и (φ(еi), φ(еj))= (еi , еj)=0, где i≠j (мы исходили из того, что базис (1) ортонормированный). Значит, (2) – ортонормированная система n векторов n-мерного евклидова пространства Vn. Так как φ(еi) ≠0 (в силу (3)), то система (2) линейно независима, а значит, является базисом

Vn.

Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 3. Если линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn переводит некоторый ортонормированный базис е=(е1,…,еn) в ортонормированный базис е'=(е'1,…,е'n), то φ является ортогональным преобразованием.

Сравнивая (5) и (4), получаем, что (φ(а), φ(b))=(a,b). Следовательно, φ – ортогональное преобразование.

Теорема доказана.

Теорема 4 (о матрицах ортогонального преобразования). Ортогональное преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn в любом ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу.

Доказательство. Пусть е – любой ортонормированный базис Vn, А – матрица преобразования φ в базисе е. В силу теоремы 1 §2 и следствия леммы 1, φ* имеет в этом базисе матрицу А'; но φ-1 имеет матрицу А-1. По теореме 1 §3 φ*= φ-1. Следовательно, А'= А-1 (6), что означает, что матрица А является ортогональной матрицей.

Теорема доказана.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 5. Если линейное преобразование φ евклидова пространства Vn в некотором ортонормированном базисе Vn имеет ортогональную матрицу, то φ – ортогональное преобразование.

Доказательство. Пусть линейное преобразование φ имеет в ортонормированном базисе е ортогональную матрицу А, т.е. А'= А-1. Тогда φ*=φ-1 и по теореме 1 этого параграфа φ – ортогональное преобразование Vn.

Теорема доказана.

§4. Симметрические преобразования

Определение 11. Линейное преобразование φ евклидова пространства V называется симметрическим, если φ = φ*, т.е. для любых векторов a, b V выполняется равенство: (φ(а), b) = (а, φ(b)).

Пример. Преобразование растяжения: φ(а)=а для любого а V. Тогда (φ(а), b) =(а, b)= (а, b)=(а, b)= (а, φ(b)).

Определение 12. Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает с транспонированной.

Теорема 1. Симметрическое преобразование конечномерного евклидова пространства Vn в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.

Действительно, из φ = φ* следует A=A’, т.е. А – симметрическая матрица. Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2. Если линейное преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn имеет в некотором ортонормированном базисе симметрическую матрицу A, то φ – симметрическое преобразование.

В самом деле, из A=A’ следует, что φ = φ*, т.е. φ – симметрическое преобразование.

Теорема 3. Все характеристические корни симметрической матрицы являются действительными числами.

Доказательство. Пусть 0 – характеристический корень (быть может, комплексный) симметрической матрицы А=( ij), т.е. |A- 0E|=0. Тогда система линейных однородных уравнений с

Коэффициент при 0 в (2) является отличным от нуля действительным числом, будучи суммой неотрицательных действительных чисел, хотя бы одно из которых строго положительно. Действительность числа 0 будет поэтому доказана, если мы докажем действительность левой части равенства (2), для чего достаточно показать, что это комплексное число совпадает со своим сопряженным.

Здесь впервые будет использована симметричность (действительной) матрицы А. Имеем:

предпоследнее равенство получено простой переменой обозначений для индексов суммирования: вместо i поставлено j, вместо j поставлено i.

Теорема доказана.

Следствие 1. Все характеристические корни симметрического преобразования φ конечномерного евклидова пространства Vn действительны, т.е. являются его собственными значениями.

Доказательство. Характеристические корни симметрического преобразования по определению совпадают с характеристическими корнями матрицы этого преобразования в некотором базисе, т.е. действительны по теореме 3. Но по теореме о связи между характеристическими корнями и собственными значениями линейного преобразования действительного линейного пространства действительные характеристические корни φ – это и есть собственные значения φ.

Следствие 2. Любое симметрическое преобразование φ конечномерного евклидова пространства Vn имеет хотя бы один собственный вектор (ибо если существует собственное значение линейного преобразования φ, то по определению существует в Vn и собственный вектор этого преобразования).

§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях

Теорема 1. Пусть φ – симметрическое преобразование евклидова пространства V, H – подпространство пространства V, инвариантное относительно φ. Тогда его ортогональное дополнение Н┴ в

конечномерного евклидова пространства Vn является симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда в Vn существует ортонормированный базис из собственных векторов φ (иначе говоря, СОНбазис преобразования φ).

Достаточность. Пусть в евклидовом пространстве Vn существует СОН-базис (е1,…,еn) (1) преобразования φ. Тогда φ(е1)=λ1е1; φ(е2)=0е1+ λ2е2;…; φ(еn)=0е1+…+ λnеn, так как еi – собственные векторы

является симметрической матрицей. А это значит, в силу теоремы 2 из §4, что φ – симметрическое преобразование.

ие1 – собственный вектор φ. Значит, е1 – искомый СОН-базис.

2)Пусть утверждение теоремы уже доказано для (n-1)-мерного евклидова пространства.

3)Докажем, что теорема верна для n-мерного евклидова пространства Vn. По следствию 2 теоремы 3 из §4 в Vn существует собственный вектор b преобразования φ, т.е. φ(b)=λ1b, λ1 R, b≠0.

подпространство Н инвариантно относительно линейного преобразования φ.

Н равна 1, то из равенства dimVn = dimH + dimН┴ следует, что размерность Н┴ равна (n-1).

По теореме 1 из этого параграфа Н┴ инвариантно относительно φ, т.е. φ является и линейным преобразованием Н┴. Тогда φ – симметрическое преобразование (n-1)-мерного евклидова пространства Н┴.

Далее, ej – орты и собственные векторы преобразования φ (j=1...n). Отсюда из ортонормированности системы (1) следует, что (2) – ортонормированная система из n векторов Vn. Так как эти векторы ненулевые, то она линейно независима, и потому (2) – искомый СОН-базис преобразования φ.

Теорема доказана.

ортогональной матрицы Q (т.е. Q-1AQ=B).

Доказательство. Пусть n – порядок матрицы А. Существует n-мерное линейное пространство над R (например, арифметическое R(n)). Если в нем задать скалярное произведение, то получим евклидово пространство Vn, размерность которого равна n.

Выберем в Vn некоторый ортонормированный базис е. Существует линейное преобразование φ пространства Vn, которое в базисе e имеет данную матрицу А. Так как А – симметрическая матрица, то по теореме 2 из §4 φ – симметрическое преобразование. По основной теореме (теорема 2) в Vn существует СОН-базис f преобразования φ. В нем φ имеет диагональную матрицу В. Следовательно, А и В – матрицы

§6. Приведение квадратичной формы к главным осям

Пусть f(x,x) – квадратичная форма с матрицей А, заданная на действительном линейном пространстве L, А – ее матрица. Как известно, матрица А симметрическая. По следствию из основной теоремы о симметрических преобразованиях (матричная форма основной теоремы) существует такая ортогональная матрица Q, что Q-1AQ=B (1), где В – диагональная матрица. Так как Q – ортогональная матрица, то Q-1=Q’. Из (1) следует, что B= Q’AQ (2). Мы знаем, что это равенство встречается в теории квадратичных форм: если квадратичную форму f с матрицей А подвергнуть невырожденному линейному преобразованию Х=QУ (3), то получим квадратичную форму с матрицей B= Q’AQ. Так как Q – ортогональная матрица, то (3) –

преобразования (3) f принимает вид: f= 1y12+...+ nyn2 (4). Это – канонический вид. Сформулируем и дополним полученный результат.

Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму f(x,x) с помощью ортогонального преобразования неизвестных (3) можно привести к каноническому виду (4), причем этот вид единственный с точностью до обозначений неизвестных (такое приведение квадратичной формы называется приведением к главным осям.)

Доказательство. Существование доказано выше.

Единственность. Имеем: B = Q’AQ = Q-1AQ (так как Q – ортогональная матрица). Следовательно, матрица В подобна А. Так как характеристические многочлены подобных матриц совпадают, то

Практическое приведение к главным осям

Практическое нахождение СОН-базиса

Для практического нахождения СОН-базиса φ поступаем так:

1)Находим все характеристические корни 1,..., n (6) матрицы А, решая уравнение |А- Е|=0 (среди них могут быть и одинаковые). Они действительные, так как А – симметрическая матрица.

2)Записываем канонический вид g(x,x)= 1y12+...+ nyn2 . (7)

3)Пусть 1,..., s – все различные характеристические корни матрицы А и ki – кратность характеристического корня i (i=1,...,s). Отметим, что

k1+…+ ks=n . (8)

Для дальнейшего нам понадобится лемма.

Лемма 1. Если 0 – характеристический корень кратности k0 симметрического преобразования φ конечномерного евклидова пространства Vn, то в Vn существует k0 линейно независимых собственных векторов, относящихся к собственному значению 0.

Доказательство. По основной теореме о симметрических преобразованиях в Vn существует СОНбазис f1,...,fn (9) преобразования φ. Матрица φ в этом базисе диагональная, причем по диагонали стоят числа

(6). Среди этих чисел 0 встречается по условию k0 раз. Значит, в базисе (9) существует k0 собственных векторов преобразования φ, относящихся к собственному значению 0. Так как они линейно независимы (как часть базиса), то это искомые векторы.

Лемма доказана.

4)В силу леммы 1, решая систему уравнений (А- iЕ)Х=0, для каждого i (i=1,...,s) можно найти ki линейно независимых собственных векторов, относящихся к собственному значению i.

Ортогонализируем эту систему векторов с помощью процесса ортогонализации и нормируем каждый ее вектор.

Лемма 2. Собственные векторы симметрического преобразования φ, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Лемма доказана.

5)Соберем вместе все найденные выше системы векторов для i=1,2,...,s. Получим систему из n (в силу (8)) ортов. То, что эта система будет ортогональной, следует из леммы 2. Значит, мы получили искомый СОН-базис.

Если Q – матрица из координатных столбцов полученного СОН-базиса, то Х=QУ – ортогональное преобразование неизвестных, приводящее g(х,х) к каноническому виду (7).

Замечание. С помощью приведения квадратичной формы к главным осям можно находить канонический вид кривых и поверхностей 2-го порядка, приводя сначала к главным осям квадратичные формы из их уравнений.