Высшая математика. Экзамен. 1-2 семестр / 2 сем / линейные преобразования линейных пространств

,

по главной диагонали которой стоят клетки Жордана, называется матрицей Жордана.

Справедлива следующая Теорема 4. Всякая матрица А с комплексными элементами подобна некоторой матрице Жордана с

комплексными элементами (последняя называется нормальной формой Жордана матрицы А). Доказательство этой и более общей теорем (для произвольного поля) требует изложения обширного

материала и выходит за рамки данного пособия. Его можно найти, например, в [1].

§4. Операции над линейными преобразованиями

Определим во множестве Ф всех линейных преобразований линейного пространства L над полем Р ряд естественных операций. Пусть , Ф.

Определение 7. Суммой линейных преобразований и называют преобразование, + задаваемое так: (+ )(а)= (а)+ (а) (для любого аL).

Утверждение 1. Сумма линейных преобразований линейного пространства L также является также линейным преобразованием L.

Доказательство. Для любых a, b L по определению 1 имеем:

(+ )(а+b)= (a+b)+ (a+b)= (a)+ (b)+ (a)+ (b)=(+)(a)+(+)(b) (при доказательстве мы использовали линейность и ).

Аналогично для любого вектора аL и числа P имеем:

(+)( a)= ( a)+ ( a)= (a)+ (a)= ( (a)+ (a))= [(+)(a)].

Мы проверили свойства линейности для + . Значит ( +) Ф. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Матрицей суммы линейных преобразований конечномерного линейного пространства в фиксированном базисе является сумма матриц слагаемых в том же базисе.

Доказательство. Пусть и в базисе е линейного пространства L имеют матрицы А и В. Тогда для любого вектора а из L имеем: [(a)]=A[a], [ (a)]=B[a]. Так как ( + )(а)= (а)+ (а), то

[(+)(a)]=[ (a)]+[ (a)]=А[а]+В[а]=(A+B)[а]. Из равенства [( +)(a)]=(A+B)[a] в силу замечания 4 к

утверждению 1 из §2 данной главы, следует, что ( + ) имеет в базисе е матрицу A+B. Утверждение доказано.

Утверждение 3. Операция сложения линейных преобразований в Ф ассоциативна и коммутативна.

Доказательство. Докажем ассоциативность. Пусть , и Ф. Тогда, для любого а из L имеем:

[(+) + ](а) = ( + )(а)+ (а)= (а)+ (а)+ (а) = (а)+( + )(а) = [+(+ )](а), т.е. справедливо равенство:

[(+)+]а=[+(+ )]а. Это означает равенство линейных преобразований (+) + и +(+ ) (по определению равенства отображений). Ассоциативность доказана.

Осталось доказать коммутативность. Для любых и из Ф выполняются равенства ( + )(а)= (а)+ (а) =(а)+(a)=(+)(a), откуда следует равенство +=+.

Коммутативность доказана. Утверждение доказано.

Замечание 1. Очевидным является существование во множестве Ф нулевого элемента ((а)=0, аL), а также у каждого элемента – противоположному ему.

Утверждение 4. Множество Ф всех линейных преобразований линейного пространства L – это коммутативная группа по сложению.

Справедливость этого вытекает из доказанных выше утверждений 1–3 и замечания 1 к утверждению 3.

Определение 8. Произведением линейного преобразования на число Р называют отображение,

определяемое так: ( )(а)=((а)) для любого аL.

Утверждение 5. Произведение линейного преобразования на число является линейным преобразованием.

Доказательство. Это вытекает из соотношений, выполняющихся при любых a, b L, P: ( )(a+b)= ( (a+b))= ( (a)+ (b))=( )(a)+( )(b),

( )( a)= [ ( a)]= ( (a))=( )( (a))= (( )(a)).

Утверждение доказано.

Утверждение 6. При умножении линейного преобразования конечномерного линейного пространства на число его матрица умножается на это число.

Справедливость этого утверждения следует из равенств:

[ (a)]= [ (a)]= (A[a])= ( A)[a] и замечания 4 к утверждению 1 из §2 этой главы.

Доказательство. Вектор b L содержится в Ker тогда и только тогда, когда (b)=0 (2). Если е – некоторый базис L, А – матрица в этом базисе, то (2) выполняется тогда и только тогда, когда А[b]=0, т.е. [b] – решение однородной системы АХ=0 (3). Так как по теореме 5 ранг А равен r, то пространство решений этой системы имеет размерность (n-r). Но это пространство решений изоморфно Ker , так как координатные столбцы всех векторов из Ker , и только таких векторов, удовлетворяют системе (3). Значит, dim Ker =n-r.

Теорема доказана.

Следствие. Если L – n-мерное линейное пространство, то dim (L)+dim Ker =n.

Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 5 и 6, ибо r+(n-r)=n.

Невырожденные линейные преобразования

Определение 14. Линейное преобразование конечномерного линейного пространства L называется невырожденным, если оно удовлетворяет любому из следующих условий, равносильность которых нетрудно вытекает из доказанных выше теорем:

1.Ранг преобразования равен n;

2.Областью значений служит все пространство L (т.е. (L)=L);

3.Дефект преобразования равен нулю.

Для невырожденных линейных преобразований можно указать и ряд других равносильных условий, в частности, приводимые ниже 4-6.

4. Различные векторы пространства L имеют при преобразовании различные образы.

Действительно, если преобразование обладает свойством 4, то ядро этого преобразования состоит лишь из нулевого вектора , т.е. выполняется свойство 3. Если же векторы а и b таковы, что a≠b, но (а)= (b), то a- b≠0, но (a-b)=0, т.е. свойство 3 не выполняется.

Из 2 и 4 вытекает

5. Преобразование является взаимно однозначным отображением L на себя.

Из 5 следует, что для невырожденного линейного преобразования существует обратное преобразование-1, переводящее всякий вектор (а) в вектор а: -1( (а))=а.

Преобразование -1 будет линейным, так как -1( (а)+ (b))=

-1[ (a+b)]=(a+b), -1[ ( (a))]= -1[ ( a)]= a.

Из определения преобразования -1 вытекает, что -1= (4), где тождественное преобразование. Равенство (4) можно рассматривать, как определение обратного преобразования. Отсюда и из доказанного выше следует, что если невырожденное линейное преобразование задается в некотором базисе матрицей А, невырожденной ввиду свойства 1, то преобразование -1 задается в этом же базисе матрицей А-1. Поэтому из 5 вытекает

6. Для линейного преобразования существует обратное линейное преобразование -1. Так как из 6 следует 1, то все условия 1-6 равносильны.

§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, А=(aij).

Определение 15. Матрицу

a11- ……a1n

……………

А- Е= an1……ann-

,

где числа aij элементы поля Р и – переменная, называют характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель

( )=|A- E| представляет собой многочлен от переменной степени n. Этот многочлен называют

характеристическим многочленом матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы А порядка n имеет вид:

( )= р0 n+p1 n-1+…+pn.

Нетрудно проверить, что p0=(-1)n, p1=(-1)n-1(a11+a22+…+ann),…, pn=|A| (ибо pn = (0)).

Определение 16. Корни характеристического многочлена |A- E| называют характеристическими корнями матрицы А.

Заметим, что характеристические корни матрицы А могут и не принадлежать полю Р, но всегда существуют в некотором расширении поля Р (и все они находятся в поле разложения многочлена ( )).

Определение 17. Множество всех характеристических корней матрицы A, в котором каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность, называют спектром матрицы А.

В соответствии с формулами Виета коэффициенты характеристического многочлена связаны с его корнями 1, 2, .., n следующим образом:

p1=1+…+ n, p2=1 2+ 1 3+…+ n-1 n,

…………,

pn=1 2… n.

Из этих формул, и отмеченного выше вида коэффициентов p1,…, pn в частности, вытекают часто применяемые соотношения:

1+…+ n=a11+a22+…+ann, 1 2… n=|A|.

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевой характеристический корень тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю, т.е. эта матрица вырожденная.

Лемма. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть A=Q-1BQ. Тогда, учитывая, что матрица E перестановочна с любой матрицей и

|Q-1|=|Q|-1, имеем:

|A-E|=|Q-1BQ-E|=|Q-1BQ-Q-1Q E|=|Q-1BQ-Q-1EQ|=|Q-1(B-E)Q|= |Q|-1|B-E||Q|=|B-E|.

Лемма доказана.

Так как матрица линейного преобразования в разных базисах подобны, то из леммы вытекает Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного

пространства имеют один и тот же набор характеристических корней.

Поэтому эти корни можно назвать характеристическими корнями преобразования .

Определение 18. Спектр матрицы линейного преобразования в любом базисе называется спектром линейного преобразования .

С понятием характеристического корня линейного преобразования тесно связано приводимое ниже понятие собственного значения .

Определение 19. Пусть – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Ненулевой

вектор a L называют собственным вектором преобразования , если этим преобразованием он переводится в вектор 0a, т.е. (a)=0a, где 0 – некоторое число из поля Р, называемое собственным

значением преобразования . При этом говорят, что собственный вектор a принадлежит собственному значению 0 (или относится к этому собственному значению).

Заметим, что нулевой вектор не считается собственным вектором никакого линейного преобразования.

Примеры:

1.Пусть L – любое линейное пространство, – его линейное преобразование, задаваемое так: (а)= 0а a L (преобразование растяжения). Тогда собственными векторами будут все ненулевые векторы из L, а

собственные значения только число 0.

Следующие два примера – для пространства R2 векторов-отрезков на плоскости.

2.– проектирование R2 на ось ОХ. Тогда собственными векторами будут все ненулевые векторы оси ОХ (так как, если аOX\О, то (a)=a=1 a), и все ненулевые векторы оси OY (если b OY\O, то (b)=0=0 b).

Собственные значения – числа 1 и 0.

3. – поворот плоскости на угол k. Так как при таком повороте ни один вектор, отличный от нуля, не остается на своей прямой (т.е. не переходит в пропорциональный), то не имеет собственных векторов.

Теорема 7. Собственными значениями линейного преобразования , действующего в конечномерном линейном пространстве L над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство. 1. Пусть линейное преобразование в некотором базисе е имеет матрицу А и число 0

является собственным значением линейного преобразования . Тогда 0 Р и существует аL\0, что справедливо равенство (a)=0a (1). Если –тождественное преобразование, то 0а=(0а)=( 0 )(а). Так как в

силу (1) (а)- 0a=0,

то мы получаем: (а)- 0a=(а)-(0 )(а)=( - 0 )(а)=0 (2).

Пусть А – матрица в базисе е. Тогда равенство (1) равносильно координатному равенству (А- 0Е)[a]=0 (3), где [a] – столбец координат вектора а в базисе е.

Матричное равенство (3) показывает, что столбец [a] является решением однородной системы линейных уравнений (А- 0Е)Х=0 (4). Так как вектор а ненулевой, то система (4) имеет ненулевые решения, и потому ее определитель равен нулю, т.е. |A- 0E|=0 (5). Значит, число 0 является характеристическим корнем преобразования , содержащимся в Р.

2. Докажем обратное утверждение.

Пусть 0 – характеристический корень , принадлежащий Р. Тогда выполняется (5), т.е. определитель однородной системы (4) равен нулю, и эта система имеет ненулевое решение, т.е. для некоторого вектора a0 выполняется (3). А тогда вектор а удовлетворяет условиям (2) и (1). Поэтому, по определению, а – собственный вектор преобразования . Так как 0 Р, то из (1) следует, что 0 – собственное значение .

Теорема доказана.

Замечание 1. Если ввести обозначения:

СЗ – множество собственных значений , ХК – множество характеристических корней , то теорема 7 примет вид: ХК Р=СЗ .

Так как все корни многочлена с комплексными коэффициентами комплексные, то из теоремы 7 получаем Следствие. В конечномерном комплексном линейном пространстве собственными значениями любого его линейного преобразования являются все его характеристические корни, и только они. В конечномерном действительном линейном пространстве собственными значениями линейного преобразования являются

все его действительные характеристические корни, и только они.

Замечание 2. Из этого следствия вытекает следующее правило. Для отыскания всех собственных значений линейного преобразования с матрицей А нужно найти все характеристические корни матрицы А и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р. Для отыскания всех собственных векторов линейного преобразования с матрицей А нужно для каждого собственного значения 0 найти все ненулевые решения системы (4).

§ 7. Линейные преобразования с простым спектром

Во многих случаях оказывается необходимым знать, может ли данное линейное преобразование иметь в некотором базисе диагональную матрицу. На самом деле далеко не всякое линейное преобразование может быть задано диагональной матрицей.

Теорема 8. Линейное преобразование тогда и только тогда задается в базисе е1,…, en диагональной матрицей, если все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования .

Необходимость. Если задается в базисе е диагональной матрицей

1 0

.

0 n ,

то (ei)= iei (2), т.е. ei собственные векторы преобразования (ei≠0, так как содержатся в базисе). Достаточность. Если базис е состоит из собственных векторов преобразования , то справедливы

равенства (2), а тогда имеет в базисе е диагональную матрицу (1). Теорема доказана.

Теорема 9. Собственные векторы b1, ...,bk линейного преобразования , относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему.

Доказательство. Будем доказывать это утверждение индукцией по k.. При k=1 оно справедливо – один собственный вектор, будучи отличным от нуля, составляет линейно независимую систему. Пусть (bi)= ibi

(i=1,…,n) и i≠ j при i≠j.

Предположим,что утверждение теоремы 9 верно для (k-1), т.е. b1,…,bk-1 линейно независимая система векторов.

Докажем, что теорема верна и для системы векторов b1,…,bk, удовлетворяющей условию теоремы 6. Если система векторов b1,…,bk линейно зависима, то справедливо равенство 1b1+ 2b2+…+ kbk=0 (3),

где, например, 1≠0. Применяя к обеим частям равенства (3) преобразование , получим:1 1b1+ 2 2b2+…+ k kbk=0. Вычитая отсюда равенство (3), умноженное на k, получим:1( 1- k)b1+…+ k-1( k-1- k)bk-1=0, что дает нетривиальную линейную зависимость между векторами

b1,b2,…,bk-1 так как 1( 1- k)≠0 (ввиду 1≠ k) вопреки предположению индукции. Значит, система b1,…,bk линейно независима.

Теорема доказана.

Определение 20. Говорят, что линейное преобразование линейного пространства L над полем P имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат P.

Преобразование с простым спектром имеет, следовательно, п различных собственных значений, а поэтому, по теореме 9, в пространстве L существует базис, составленный из собственных векторов этого преобразования. По теореме 8 в этом базисе имеет диагональную матрицу. Таким образом, справедлива

Теорема 10. Всякое линейное преобразование с простым спект ром конечномерного линейного пространства над полем P в некотором базисе этого пространства имеет диагональную матрицу.

Переходя от линейного преобразования к матрицам, его задающим, мы получаем следующий результат:

Теорема 11. Всякая матрица над полем P, все характеристические корни которой различны и принадлежат P, подобна диагональной матрице или, как говорят, такая матрица приводится к диагональному виду.