Высшая математика. Экзамен. 1-2 семестр / 2 сем / числовые ф-ии на лин пространствах

e (e1,..., en ) – произвольный базис L

. Тогда в этом базисе функция

f

запишется так:

f (x) 1x1 2 x2 ... n xn

, (1)

где x1

,...,

xn – координатный столбец вектора x в базисе e ,

i

P (i 1, n).

n

Доказательство.

Пусть

x L. Так как

e –

базис L , то x xiei . По определению линейной

i 1

n

функции отсюда получаем:

f (x) xi f (ei )

. Введём обозначения:

f (ei ) i , (i 1, n). Получаем:

i 1

n

f (x) xi i , где

i

f (ei ), (i 1, n).

i 1

Теорема доказана.

Нетрудно проверить, что множество

*

всех линейных

функций, заданных на линейном

L

пространстве

L

над

полем

P , также является линейным пространством над

P . Его называют

сопряженным (или двойственным) к L .

*

и его связях с L можно прочитать в [3].

Подробнее об L

Замечание. В записи (1)

x – переменный вектор из L , xi – переменные, принимающие значения в

поле P .

§2. Билинейные функции

Рассмотрим теперь числовую функцию двух переменных, заданную на линейном пространстве.

Определение 2.

Пусть

L – линейное пространство над P . Функция двух переменных f (x, y) ,

заданная на

L и принимающая значения в поле

P ,

называется билинейной функцией (или билинейной

формой), если она линейна по каждому аргументу, т.е.

x1, x2 L и

P справедливы равенства:

f (x1 x2 , y) f (x1, y) f (x2 , y) ;

n

n

Пусть e – некоторый базис L , x, y L. Тогда x xiei ,

y y jej .

i 1

j 1

Заметим, что в силу определений 4 и 5

ij

ji

или

, т.е. матрица квадратичной формы

A A

базисе.

Нами доказана

Теорема 2. Если квадратичную форму f (x, x) с матрицей A , заданную в базисе

e

конечномерного

линейного пространства, записать в базисе

этого пространства, то получим квадратичную форму

e eT

Y BY с матрицей B

T AT .

X TY – линейное

Замечание 3.

Если рассматривать

f (x, x)

как многочлен

f (x1

,..., xn ) , то

невырожденное преобразование неизвестных, и

после этого

преобразования

f (x1

,..., xn )

станет

квадратичной формой

f (y ,...,y

n

) от новых неизвестных

y

,..., y

n

, причем по доказанному выше

1

1

Доказательство.

Если

квадратичная форма с матрицей

A

подвергается

преобразованию

X TY(T 0) , то по теореме 2 получится квадратичная форма с матрицей

. Но, как известно,

B T AT

при умножении

матрицы

на любую невырожденную матрицу

ранг

не меняется, и потому

rB rT AT rT ( AT )

rAT

rA .

Теорема доказана.

Замечание 4. На языке линейных пространств теорема 3 формулируется следующим образом.

Теорема 3’.Если квадратичная форма

f (x, x) задана на конечномерном линейном пространстве

L ,

то в любом базисе этого пространства f (x, x)

имеет один и тот же ранг.

2

2

(10) в некотором базисе n – мерного линейного

Определение 7. Если

f (x, x) b1 y1

... br yr

пространства

L

над P , где

r n , bi P , то говорят, что (10) – её канонический вид.

Отметим, что в каноническом виде квадратичная форма имеет диагональную матрицу

b

0

0

0

0

1

0

...

0

0

0

B 0

0

b

0

0

.

r

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Если в матрице

B

bi

0

, (i 1, r) , то

r rB – ранг квадратичной формы f .

Мы видим, что число квадратов с отличными от нуля коэффициентами в каноническом виде

квадратичной формы равно её рангу.

Теорема 4 (о приведении к каноническому виду). Пусть

f (x, x)

– квадратичная форма

на

конечномерном линейном пространстве L над

P и характеристика поля P отлична от 2.

Тогда существует базис пространства

L , в котором f (x, x)

имеет канонический вид (такой базис

1

1

0

...

0

1

1

0

...

0

Q

0

0

1

...

0

.

0

0

0

...

0

0

0

...

0

1

Разлагая

Q

по

первым двум строкам, получаем:

Q

1

1

1 (1

1) 0 ,

так

как

1

1

характеристика поля P

по условию теоремы не равна 2.

Значит,

(12) –

невырожденное

линейное

преобразование

неизвестных. После

него

квадратичная

2

2

f1

f1

форма из вида (11) перейдет в вид

f 2a12 y1

2a12 y2

(13), причем в силу (12) в

будут

входить только слагаемые, содержащие произведения y

y

, где или i

, или

j больше двух, поэтому

y

2

и

i

j

1

y22 не появятся в

f1 и не могут сократиться в (13).

Итак, в виде (13) появляются два квадрата неизвестных с ненулевыми коэффициентами.

. В

f (x, x)

существует квадрат с ненулевым коэффициентом. Можно считать,

что

a11

0 .

(14)

члены, содержащие

x1

:

f x ...x

n

a

1

(a

x

a

x

2

... a

x

n

)

2

f

x ...x

n

1

11

11 1

12

1n

1

a

x

2

2a

x x

... 2a

x x

(x

,..., x

) g(x

,..., x

)

(14)

2

n

2

n

2

n

11

1

12

1

1n

1

(здесь (x

2

,..., x

n

)

– квадратичная форма, не содержащая x

) .

1

Мы получили

f x ...x

n

a 1

(a

x

a

x

2

... a

x

n

)2

g(x

2

,..., x

n

). (15)

1

11

11 1

12

1n

a11

0

...

0

Так как

0

1

...

0

a

0 , то это преобразование невырожденное. После него из (15)

0

0

...

0

11

0

0

...

1

получим

f

a

1

y

2

g(y

2

,...,

y

n

)

(17) (говорят, что выделился квадрат неизвестного

y

).

11

1

1

преобразованию

неизвестных

y2 ,..., yn дописываем равенство z1 y1 (переобозначаем y1 ). Так как

неизвестных конечное число, то через конечное число шагов получим

f b z2

... b z2

(18) – канонический вид квадратичной формы f .

1 1

r r

возьмем

в (19)

числа

c

такими,

чтобы

b c2

1 , т.е. c

b 1 C

(21). Тогда после линейного

i

i i

i

i

преобразования (19) с этими (комплексными) коэффициентами вид (20) будет таким:

2

2

f t1

... tr

(22) . Такой канонический вид называют комплексным нормальным видом, или

нормальным видом над

C .

Он определяется только рангом квадратичной формы

f . Это канонический вид, в котором все

квадраты входят с коэффициентом либо +1, либо 0.

Действительный нормальный вид

Рассмотрим квадратичную форму

f

над полем R действительных чисел и её канонические виды

(20): f

2

)

2

2

2

2

2

(b1c1

t1 ...

(br cr )

tr . Коэффициенты в (20) действительные.

Как получить “наиболее простой” из этих действительных канонических видов?

Формулы

(21) нам

не помогут,

если bi

0 , ибо здесь мы имеем право совершать линейные

преобразования только с действительными коэффициентами.

ci

1

Совершим линейное преобразование (19)

с действительными коэффициентами

bi

(23),

, (i 1, r) ,

cr 1

... cn

1.

Тогда (20) имеет следующий вид:

f t

2

...

t

2

(24) , где

1

(25). (i 1, r).

r

r

i

1 1

Этот канонический вид называют действительным нормальным видом, или нормальным видом над

полем R .

С точностью до нумерации неизвестных его можно записать так:

f t 2 ... t2

t 2

... t 2

1

s

s 1

r

(26).

, то ДНВ(1) и ДНВ(2) – два действительных нормальных вида f и по

ДНВ(1)

ДНВ(2)

Определение 9. Квадратичная форма f (x, x)

, заданная на действительном линейном пространстве

L

, называется положительно определенной, если

f (x, x) 0 для любого

x L \ 0.

Теорема 6. Действительная квадратичная форма

f (x, x) на

n -мерном линейном пространстве L

положительно определенная тогда и только тогда, когда её действительный нормальный вид таков:

2

2

f y1 ... yn

(39) (т.е. в нем нет квадратов с коэффициентами 0 и –1; другими словами, ранг

f

и её положительный индекс равны n ).

Необходимость. Пусть f – положительно определенная квадратичная форма. Будем доказывать от

2

противного: пусть в её ДНВ существует квадрат zi с коэффициентом (–1) или 0. Тогда

2

2

...

(41)

f ... zi

... (40) либо f ... 0 zi

(виды (40) и (41) –

в некотором базисе линейного пространства

L ).

Рассмотрим вектор

x , у которого координаты в этом базисе таковы:

zi 1, а остальные равны 0, т.е.

z j

0,( j i) :

b (0,...1,,...,0) . Тогда в

2

силу

(40)

и (41)

либо

f (b,b) 1 1 1, либо

f (b,b) 0 12

0 ,

т.е.

f (b,b) 0 ,

что

вступает

в

противоречие

с

определением

положительно

определенной квадратичной формы (ибо

b 0). Значит,

f

имеет ДНВ (39).

Достаточность. Пусть (39) – действительный нормальный вид

f

в некотором базисе

e . Тогда

b L \ 0 с координатным столбцом ,...,

n

в этом базисе имеем:

f (b,b) 2 ... 2

0 (ибо

1

1

n

i 0 ). Значит,

f

– положительно определенная квадратичная форма.

Замечание 7.

С помощью этой теоремы не очень удобно определять, будет ли

f

положительно

определенной (надо приводить её к ДНВ).

Есть более удобный способ.

го, 2-го,…,

n

-го порядка, расположенные в левом верхнем углу, называются главными минорами матрицы

A .

Если

A – матрица квадратичной формы f (x1,..., xn ) , то главные миноры матрицы A

называются

главными минорами f .

Теорема (критерий Сильвестра). Действительная квадратичная форма

f (x1,...,

xn ) является

Определение 11. Квадратичная форма

f (x, x)

f (x1 ,..., xn ) , заданная на линейном пространстве

L , называется отрицательно определенной, если x 0 f (x, x) 0 .

Если

f

отрицательно определенная форма, то,

очевидно,

( f )

–

положительно определенная

квадратичная форма, т.е.

f

y

2

... y

2

– действительный

нормальный вид

( f ) ,

а

тогда

f

y

2

... y

2

–

n

n

1

1

действительный нормальный вид отрицательно определенной квадратичной формы

f .