Высшая математика. Экзамен. 1-2 семестр / 2 сем / ранг матрицы и системы линейных уравнений

ГЛАВА 9. РАНГ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Пусть Р – некоторое поле. В этой главе и элементы поля Р, и векторы линейного пространства мы будем обозначать латинскими буквами.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу n m с элементами из этого поля:

a11………a1m

А= ……………

an1………anm

.

Столбцы этой матрицы А можно рассматривать как n-мерные векторы-столбцы сi=(a1i, …, ani)т , т.е. как элементы n-мерного пространства векторовстолбцов P(n) над полем Р (сi P(n), i=1,…,m).

Определение 1. Рангом матрицы А назовем ранг системы ее столбцов с1, с2,…,сm (1), рассматриваемых как n-мерные векторы-столбцы.

Другими словами, ранг матрицы – это максимальное число ее линейно независимых столбцов.

Если в системе (1) нет базисов, т.е. она состоит только из нулевых векторов, то по определению считаем, что ранг матрицы А равен нулю.

Один из способов нахождения ранга матрицы связан с понятием базисного минора.

Определение 2. Пусть в матрице А существует минор М к-го порядка, удовлетворяющий следующим условиям:

1.М 0;

2.все миноры (к+1)-го порядка матрицы А, содержащие М (назовем их минорами, окаймляющими М), равны 0, либо таких миноров в А нет.

Тогда минор М назовем базисным минором матрицы А.

Замечание 1. Нетрудно доказать, что если в А хотя бы один элемент aij 0, то в такой матрице всегда существует базисный минор.

Определение 3. Пусть М – базисный минор матрицы А. Столбцы (строки) этой матрицы, проходящие через минор М, называются базисными столбцами (строками) матрицы А.

Теорема о базисном миноре. Базисные столбцы (строки) матрицы А составляют базис системы всех ее столбцов (строк).

Доказательство. Будем доказывать теорему только для столбцов; для строк доказывается аналогично. Далее, будем считать, что базисный минор М k-го порядка находится в верхнем левом углу матрицы А

(как мы увидим ниже из способа доказательства, при произвольном расположении минора М можно доказывать аналогично).

Итак, в рассматриваемом нами случае матрица А имеет следующий вид (сверху записаны обозначения ее столбцов, рассматриваемых как n-мерные векторы-столбцы):

с1,..,сk,..,cs,..cm

a11..,a1k..a1s..a1m

…М…………

ak1..,akk..aks..akm

А= ……………

ai1..,aik..ais..aim

……………

an1..,ank..ans..anm .

Покажем, что базисные столбцы с1, …, ск (2) матрицы А составляют базис системы сi, …,сm (1) всех столбцов этой матрицы, т.е. (2) – максимальная линейно независимая подсистема системы (1).

Для доказательства воспользуемся теоремой 3 из §3 главы 8 о максимальных линейно независимых подсистемах. В силу этой теоремы, нам надо доказать:

I. подсистема (2) линейно независима;

II. любой столбец сs матрицы А линейно выражается через (2).

Докажем I. Предположим, что (2) линейно зависима, например сk – линейная комбинация с1,…, сk-1 (3) (это не нарушает общности). Тогда каждая компонента вектора ск есть линейная комбинация соответствующих компонент векторов (3). Если записать эти равенства для первых k компонент векторов (2), то из них следует, что k-ый столбец минора М является линейной комбинацией остальных столбцов этого минора. Тогда М=0 (по свойству определителей), а это противоречит тому, что М – базисный минор матрицы А. Значит, наше предположение неверно и (2) – линейно независимая система.

Докажем II. Рассмотрим следующие вспомогательные определители:

.

Если 1 i k, то определитель i содержит две одинаковые строки и потому равен нулю. Если i>k, то i – минор (k+1) порядка матрицы А, окаймляющий базисный минор М. Тогда по определению базисного минора i=0. Таким образом, мы доказали, что i=0 (4) при любом

i =1,2,…, n.

Разложим определители i по его (k+1)-ой (последней) строке. Учитывая равенство (4) и то, что алгебраические дополнения элементов этой строки в определителе i не зависят от номера i, получаем:

i=ai1A1+…+aikAk+aisM=0 (5). Мы учли, что алгебраическим дополнением элемента ais в i является (-

1)(k+1)+(k+1)М=М.

Из равенства (5), учитывая, что М≠0, получаем:

ais=(-A1/M)ai1+…+(-Ak/M)aik.

Введем обозначения: tj=-Aj/M (6), j=1,…,k. Тогда имеем:

ais = t1 ai1 +…+ tk aik . (7)

Заметим, что числа t1,…,tk не зависят от номера i, так как А1,…,Аk не зависят от i. Придавая в (7) индексу i всевозможные значения 1, 2,…, n, получим равенства:

аls=t1а11+…+tkа1k,

……………….,

аns=t1аn1+…+tkаnk .

Из них вытекает векторное равенство: сs=t1с1+…+tkсk. Утверждение II доказано. Таким образом, мы доказали, что (2) – базис системы (1).

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о базисном миноре Следствие 1. Ранг матрицы равен порядку ее базисного минора.

Доказательство. Пусть в матрице А существует базисный минор порядка k. По теореме о базисном миноре столбцы этой матрицы, проходящие через данный минор (а их ровно k), составляют базис системы всех столбцов матрицы А. Тогда по определению ранга матрицы ранг А равен k.

Следствие доказано.

Замечание 2. Следствие 1 используется для практического нахождения ранга матрицы с помощью определителей.

Следствие 2. Максимальное число линейно независимых строк матрицы А равно максимальному числу

еелинейно независимых столбцов и равно рангу матрицы А.

Доказательство. Базисный минор М матрицы А квадратный, и потому, по теореме о базисном миноре,

максимальное число линейно независимых строк матрицы А равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно порядку М, т.е., по следствию 1, рангу матрицы А.

Следствие доказано.

Следствие 3. Если в матрице число строк больше числа столбцов, то ее строки линейно зависимы (аналогично и для столбцов).

Доказательство. Обозначим число строк матрицы А через n, число столбцов через m, ранг матрицы А через r. Отметим, что так как

n > m, то в матрице А миноров порядка, большего m, не существует, и по следствию 1, r m, откуда r<n. Значит, в силу следствия 2 максимальное число линейно независимых строк А меньше числа ее строк, а потому строки А линейно зависимы.

Следствие доказано.

Определение 4. Пусть в матрице А существует отличный от нуля минор М k-го порядка, а все миноры матрицы А, порядки которых больше k, равны нулю, или таких миноров в А нет. Тогда число k называют

наивысшим порядком отличных от нуля миноров матрицы А.

Следствие 4 (теорема о ранге матрицы). Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть k – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А и М – ее отличный от нуля минор k-го порядка, о котором говорится в определении 4. Нетрудно видеть, что М – базисный минор матрицы А (так как все миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие М, если они существуют, должны быть равны нулю). По теореме о базисном миноре ранг А равен k.

Следствие доказано.

Замечание 3. В некоторых учебниках (например, в [1]) вместо теоремы о базисном миноре формулируется теорема о ранге матрицы (следствие 4), но доказательство приводится такое же, как выше в

теореме о базисном миноре (приведенное выше доказательство и взято из [1]). Но при таком подходе в доказательстве используется меньше условий, чем те, которые приводятся в теореме о ранге матрицы (нам не нужно использовать равенство нулю всех миноров порядков, больших k, а только некоторых (окаймляющих М) миноров (k +1)-го порядка)

Следствие 5. (необходимый признак равенства определителя нулю). Если определитель d матрицы А равен нулю, то его строки (столбцы) линейно зависимы.

Доказательство. Пусть матрица А имеет порядок n. Так как d=|A|=0, то наивысший порядок не равных нулю миноров матрицы А меньше n. Тогда по следствию 4 ранг А меньше n. По определению ранга матрицы максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А меньше n, а это означает, что столбцы d линейно зависимы. Теперь из следствия 2 вытекает и линейная зависимость строк определителя d (ибо матрица А квадратная).

Следствие доказано.

Следствие 6 (необходимое и достаточное условия равенства определителя нулю). Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Необходимость доказана в следствии 5; достаточность доказана ранее в свойстве 4 определителей (гл.4

§2).

Применение ранга матрицы для решения вопросов о

линейной зависимости в пространстве P(n)

Пусть в P(n) задана система k векторов: а1=( 11,…, n1)Т,…, ak=( 1k,…, nk)T (8). Чтобы узнать, будет ли она линейно зависимой или нет, и найти ее базис, можно поступить так:

1. Составим из векторов-столбцов (8) матрицу

11……… 1k

А= ……………

n1……… nk

.

2.Найдем базисный минор М этой матрицы. Пусть его порядок равен r. Если r<k, то система векторов

(8)линейно зависима – в силу следствий 1 и 2 из теоремы о базисном миноре (ибо ранг А равен r). Если r = k, то (8) линейно независима.

3.Базисом системы (8) будут столбцы А, проходящие через базисный минор М – по теореме о базисном миноре.

Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве

Пусть L – n-мерное линейное пространство над Р. Тогда в L существует базис e1,e2,…,en (9). Рассмотрим в пространстве L систему векторов l1,l2,…,lk (10). Требуется определить, является ли система (10) линейно зависимой или линейно независимой, и найти хотя бы один ее базис. Используем то, что по теореме 4 из § 7 главы 8 L изоморфно P(n) (т.е. существует изоморфизм :L P(n)).

Из свойств изоморфизма известно, что при изоморфизме сохраняется линейная зависимость (линейная независимость) векторов, свойство быть базисом. Напомним, что по теореме 4 изоморфизм можно построить так: каждому вектору b L ставится в соответствие его координатный столбец в базисе (9). Пусть [l1],…,[lk] (11) система координатных столбцов векторов (10) в этом базисе. Теперь с помощью ранга матрицы составленной из этих столбцов (как указано выше), мы можем узнать, будет ли система (11) линейно зависимой или линейно независимой и найти ее базис. Тем самым все эти вопросы решаются и для системы (10).

§ 2. Системы линейных уравнений

Определение 5. Решением (или частным решением) системы линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется упорядоченный набор n элементов поля Р (или некоторого его расширения), при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение этой системы обращается в тождество.

Отметим, что решение системы с n неизвестными — это n-мерный векторстрока.

Определение 6. Общим решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор n выражений, зависящих от произвольных постоянных, удовлетворяющий двум условиям:

1. При подстановке этих выражений вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

2. Любое решение системы получается из этого набора при некоторых значениях произвольных постоянных.

В настоящем параграфе рассматривается метод решения систем линейных уравнений, связанный с использованием ранга матрицы.

c1,…cn, b (3) (здесь b – столбец свободных членов). Если докажем, что системы векторов (2) и (3) эквивалентны, то отсюда будет следовать, что их ранги равны.

Каждый вектор ci из (2) содержится в (3) и потому ci=0 c1+0 c2+…+1 ci+…+0 cn для любого i. Это означает, что система (2) линейно выражается через систему (3).

Докажем, что система (3) линейно выражается через систему (2). Так как все векторы, кроме b, в этих системах одинаковы, то, в силу отмеченного выше равенства, достаточно доказать, что вектор b линейно выражается через (2). По условию система линейных уравнений (1) имеет решение (k1,k1,…,kn),

ki P, т.е. справедливы тождества:

a11k1+…+a1nkn=b1

…………………..

(4)

am1k1+…+amnkn=bm

Из (4) следует, что b=k1c1+…+kncn. Это значит, что вектор b линейно выражается через (2), т.е. (3) линейно выражается через (2).

Этим доказано, что системы (2) и (3) эквивалентны. Так как конечные эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги (по следствию 4 из основной теоремы о линейной зависимости), то ранг системы

(2) равен рангу системы (3). Это означает, что ранг матрицы A равен рангу матрицы A. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ранги матрицы A и A совпадают и равны r. Нужно доказать, что система уравнений (1) совместна.

Выберем в системе векторов (2) некоторый базис ci1,…,cir (5). Векторы (5) содержатся в системе (3) и составляют линейно независимую подсистему из r векторов. Так как в силу условия ранг системы (5) также равен r, то (5) будет базисом и системы (3).

Вектор b можно линейно выразить через этот базис, а тогда b линейно выражается и через всю систему

(2) (векторы, не входящие в (5), можно добавить в выражение для b с нулевыми коэффициентами).

Мы доказали, что существуют числа k1,k2,…,kn (6) из поля Р такие, что b=k1c1+…+kncn (7). Равенство (7) означает, что набор (6) — это решение системы уравнений (1), и потому система (1) совместна.

Теорема доказана.

Определение 7. Рангом совместной системы линейных уравнений называют ранг матрицы этой системы.

xr+1=cr+1, …, xn=cn. Тогда значения основных неизвестных найдутся по теореме Крамера при решении

Так как (15) – решение системы (1), то система (12) имеет решение x1=c1,…,xr=cr (17). По теореме Крамера решение системы (12) единственно, и потому ее решения (16) и (17) должны совпадать.

Мы доказали, что произвольное решение (15) системы (1) можно получить описанным выше способом.

Общее решение

Отметим, что общее решение системы линейных уравнений можно получить методом Гаусса: выразить основные неизвестные через свободные. Другой способ получения общего решения вытекает из рассмотренного выше метода решения системы с помощью ранга матрицы. Для этого при решении системы

(9) свободные неизвестные переносим в правые части уравнений системы и считаем их произвольными постоянными, т.е. полагаем

xr+1=С1,…, xn=Сn-r. (17)

А далее по формулам Крамера выражаем основные неизвестные через свободные. Получим: x1=f1(С1,…,Cn-r),…, xr=fr(C1,…,Cn-r). Отметим, что f1,…,fr — некоторые линейные функции от С1,…, Сr.

Тогда (f1,…,fr, C1,…, Cn-r) (18) будет, очевидно, решением системы (1).

Это решение содержит произвольные постоянные и, как доказано выше в пункте 3, любое решение системы (1) можно получить при некотором выборе этих произвольных постоянных. Следовательно, (18) – общее решение системы (1).

Число решений совместной системы линейных уравнений

Пусть (1) – совместная система m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р. Из описанного выше способа решения таких систем вытекает ряд утверждений о числе решений совместной системы.

Основные критерии:

А) Нет свободных неизвестных – система имеет единственное решение (оно находится по теореме Крамера).

Б) Есть хотя бы одно свободное неизвестное – система имеет больше одного решения (так как свободным неизвестным можно придавать произвольные значения из поля Р).

Если поле Р бесконечное, то в случае Б) система имеет бесконечно много решений.

Другие критерии:

Из основных критериев получаем ряд следующих (ниже r – ранг системы (1), А – матрица этой системы, d=|A| – определитель системы при n = m):

1)r=n – система имеет единственное решение (так как нет свободных неизвестных);

2)r<n – система имеет более одного решения (так как есть свободные неизвестные);

3)n>m – система имеет более одного решения, так как в этом случае r m<n, т.е. r<n;

4)n=m, d=|A| 0 система имеет единственное решение (по теореме Крамера);

5)n=m, d=0. Тогда базисный минор матрицы А имеет порядок, меньший n, т.е. r<n и система имеет больше одного решения.

Однородные системы и их пространства решений

Определение 8. Система линейных уравнений (1) называется однородной, если b1=b2=…=bm=0. Таким образом, однородная система линейных уравнений имеет вид:

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение (0,…,0). Поэтому основным вопросом здесь является следующий: существует ли у такой системы хотя бы одно ненулевое решение?

Из приведенных выше критериев для однородной системы получаем:

Основные критерии:

А0) Нет свободных неизвестных – только нулевое решение; Б0) Есть хотя бы одно свободное неизвестное – существует ненулевое решение;

Другие критерии:

10) r=n – только нулевое решение;

20) r<n – существует ненулевое решение;

30) m<n –существует ненулевое решение; 40) m=n, d 0 – только нулевое решение;

50) m=n, d=0 – существует ненулевое решение.

Если задана однородная система (II) над полем Р, то любое решение этой системы можно рассматривать как n-мерный вектор-строку: