Высшая математика. Экзамен. 1-2 семестр / 2 сем / евклидовы пространства

ГЛАВА 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§1. Скалярное произведение

Рассматриваем только действительные линейные пространства. В них можно ввести скалярное произведение векторов, обобщающее это понятие, известное для векторов-отрезков.

Определение 1. Пусть V – линейное пространство над полем R действительных чисел. Будем говорить, что на нем задано скалярное произведение, если на V определена симметрическая билинейная форма, обозначаемая (x,y), для которой соответствующая квадратичная форма (х,х) положительно определена.

Примеры. 1. Рассмотрим пространство R3 векторов-отрезков. Если в некотором базисе заданы

векторы х (х1, х2, х3) и у (у1, у2, у3), то полагаем (х, у) = х1 у1 + х2у2 + х3у3.

Легко проверить, что эта форма (у, х) = (х, у) – билинейная, а (х,х) = х12 + х22 + х32 – положительно определенная квадратичная форма.

Значит, (х,у) – скалярное произведение в R3 .

2. Пусть F – пространство непрерывных на [a, b] функций действительной переменной. Полагаем, что

φ(х))>0, то есть (φ(х), φ(х)) – положительно определенная квадратичная форма.

Учитывая определения симметричной билинейной и квадратичной форм, данное выше определение 1 скалярного произведения можно переформулировать следующим образом.

Определение 2. Пусть V – действительное линейное пространство. Будем говорить, что в V определено скалярное произведение, если по некоторому закону любой упорядоченной паре векторов a, b V ставится в соответствие единственное действительное число (a,b) и выполняются следующие аксиомы скалярного произведения (для любых a, b, с V и любого R):

Определение 3. Действительное линейное пространство, на котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Замечание 1. Отметим, что скалярное произведение не является алгебраической операцией в V, так как a, b V, но (a,b), вообще говоря, не принадлежит V (ибо поле R не обязано содержаться в V ).

Теорема (о превращении конечномерного линейного пространства в евклидово пространство). Во всяком конечномерном линейном пространстве Vn над R можно задать скалярное произведение, т.е. превратить его в евклидово пространство.

Доказательство. Выберем в Vn некоторый базис е1, …, еn. Пусть a, b Vn. Тогда а = 1е1+…+ nеn, b

= 1е1+…+ nеn.

n

По определению полагаем: (a, b) i i (1). Нетрудно проверить, что выполняются все аксиомы

i 1

n

скалярного произведения. В частности, (a, а) i2 0 при любом а 0. Значит, Vn стало евклидовым

i 1

пространством.

Теорема доказана.

Замечание 2. В связи с этой теоремой возникает ряд вопросов:

1.Если в Vn задавать скалярное произведение, как в теореме 1, но использовать различные базисы, то получим различные евклидовы пространства или у них есть что-то общее? Ответ на этот вопрос мы получим после введения понятия изоморфизма евклидовых пространств.

2. Можно ли в конечномерном линейном пространстве задать скалярное произведение принципиально другим способом? В дальнейшем будет доказано, что любой способ сводится к данному.

§2. Ортогональные системы векторов

Определение 1. Два вектора a и b евклидова пространства V называются ортогональными, если (a,

b)=0.

Легко проверяется, что (0, b)=0: (0, b)= (0a, b)= 0(a, b)=0.

Определение 2. Система векторов а1,…,аs (1) евклидова пространства V называется ортогональной, если любые ее векторы ортогональны, т.е. (аi, aj)=0 (2) для любых i, j при i j (i, j=1,...,s)

Теорема 1. Всякая ортогональная система (1) ненулевых векторов линейно независима. Доказательство. Пусть дана система векторов (1) с условием (2). Составим уравнение, где x1, ..., xs –

неизвестные числа: x1a1+...+xiai+...+xsas=0 (3). Умножая равенство (3) скалярно на вектор ai, получим: x1(a1,ai)+...+

xi (ai,ai)+...+xs (as,ai)= (0,ai)= 0. Отсюда и из (2) следует: xi (ai,ai)= 0 (4). Так как ai 0, то (ai,ai) 0; поэтому из (4) получаем: xi=0. Мы показали, что уравнение (3) имеет только нулевое решение. Значит, система (1) линейно независима.

Теорема доказана.

Один способ построения ортогональных систем ненулевых векторов приводится ниже в теореме 2. Теорема 2. Пусть в евклидовом пространстве V задана линейно независимая система a1,...,as (5).

Тогда в V существует ортогональная система b1,...,bs (6), удовлетворяющая условиям:

1.b1= a1;

2.bk <a1,a2,...,ak>;

0 для любого k=1,…,s.3. bk

Доказательство. Будем доказывать эту теорему индукцией по числу s. При s=1 она верна: полагаем b1= a1. Предположим, что уже построена система b1,...,bi-1 (7), удовлетворяющая условиям 1, 2, 3 при k≤ i-1, и векторы (7) попарно ортогональны. Вектор bi будем искать в виде bi= ai+ 1b1+...+ i-1bi-1 (8), где j – неизвестные числа. Мы найдем их из условий (bi, bj)=0 (9) для любого j=1,…,i-1. Для нахождения j

равенство (8) умножим скалярно на bj: (bi, bj)=0=( ai, bj)+ 1(b1, bj)+...+ j(bj, bj)+...+ i-1(bi-1, bj). Ввиду

(bj, bj)≠0, ибо bj≠0 по предположению индукции). Если числа j из (10) подставить в (8), то мы получим вектор bi , ортогональный всем векторам системы (7), т.е. система b1,...,bi-1,bi (11) будет ортогональной.

Отметим, что ввиду предположения индукции {b1,...,bi-1} <a1,...,ai-1> (12); поэтому каждый из векторов (7) линейно выражается через векторы a1,...,ai-1. Подставляя эти выражения в (8), мы получим: bi= ai+j1a1+...+ji-1ai-1 (13). Это означает, что выполняется условие 2 для bi. Если бы bi =0, то из (13) следовало бы, что система (1) линейно зависима, что противоречит условию.

Итак, мы построили такой вектор bi, что система (11) удовлетворяет всем требованиям теоремы для i векторов (i s). Такое построение можно продолжать до тех пор, пока не используются все векторы системы (5), т.е. получаем ортогональную систему ненулевых векторов (6), удовлетворяющую условиям 1 –

3.

Теорема доказана.

Определение 3. Переход от линейно независимой системы (5) к построенной выше ортогональной системе (6) называется процессом ортогонализации.

Определение 4. Базис a1,...,an n-мерного евклидова пространства Vn называется ортогональным базисом, если он является ортогональной системой.

Из теорем 1 и 2 вытекает справедливость следующих утверждений.

Следствие 1. Во всяком конечномерном евклидовом пространстве Vn существует ортогональный

базис.

Доказательство. По условию в Vn существует базис a1,...,an (14). С помощью процесса ортогонализации из него можно получить ортогональную систему из n ненулевых векторов b1,...,bn (15). По теореме 1 она линейно независима. Так как число ее векторов равно dim Vn, то (15) – базис Vn.

Это искомый ортогональный базис.

Следствие 2. Всякий ненулевой вектор евклидова пространства Vn при n 2 содержится в некотором ортогональном базисе этого пространства. Для доказательства дополняем этот вектор до базиса Vn и подвергаем этот базис процессу ортогонализации.

§3. Длина вектора. Угол между векторами

Определение 1. Нормой, или длиной, вектора а евклидова пространства V называется число |а| = (a, a) (корень берется арифметический).

Часто норма обозначается так: ||a||.

Отметим, что так как (а, а) 0, то длина вектора всегда существует. Если |а|=0, то а=0, и обратно.

Определение 2. Если |е|=1, то вектор е называется нормированным вектором или ортом.

Покажем, что любой ненулевой вектор можно нормировать, если его разделить на его длину.

i 1

столбец вектора а, 1 ,..., n – координатный столбец вектора b в базисе е.

i j, а (еi,еi)=1.

Справедливость равенства (6) доказана.

Достаточность. Пусть в базисе (5) скалярное произведение вычисляется по формуле (6) для любых a, b Vn. Рассмотрим ei=0∙e1+...+1∙ei+…+0∙en и ej=0∙e1+...+1∙ej+...+0∙ei +…+0∙en.

По формуле (6) имеем: (ei,ei)=0∙0+...+1∙1+...+0∙0=1, (ei,ej)=0∙0+...+0∙1+...+1∙0+...+0∙0=0. Значит,

базис (6) – ортонормированный. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть в линейном пространстве Vn задан некоторый базис a1,…,an (8). Тогда Vn можно превратить в евклидово пространство так, что базис (8) будет ортонормированным.

Доказательство. По теореме о превращении конечномерного линейного пространства в евклидово пространство Vn можно превратить в евклидово пространство, задав в нем скалярное произведение векторов как сумму произведений их соответствующих координат в базисе (8). В силу теоремы 3 тогда (8) становится ортонормированным базисом.

Следствие 2. Если в конечномерном линейном пространстве Ln любым способом задано скалярное произведение, то в нем найдется такой базис, в котором скалярное произведение будет вычисляться по

Действительно, таким базисом будет ортонормированный базис. Его существование доказано ранее, а эта формула установлена в теореме 3.

Замечание 1. Следствие 2 показывает, что способ превращения конечномерного линейного пространства в евклидово, указанный в теореме 1, является универсальным. Этим мы ответили на вопрос 2 из замечания 2 §1 этой главы: каким бы способом в конечномерном линейном пространстве ни вводилось скалярное произведение, его можно свести к способу, указанному в теореме 1.

§5. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 5. Два евклидовых пространства V и V’ называются изоморфными, если существует биекция φ: V→V’, удовлетворяющая условиям:

1)φ – изоморфизм линейных пространств V и V’;

2)при отображении φ сохраняется скалярное произведение, т.е. (φ(a), φ(b))=(a, b) для любых a, b

V.

Такое отображение φ называется изоморфным отображением или изоморфизмом евклидовых пространств V и V’.

Теорема (критерий изоморфизма конечномерных евклидовых пространств). Два конечномерных евклидовых пространства V и V’ изоморфны тогда и только тогда, когда dimV=dimV’ (10).

Необходимость. Пусть V V’. Тогда по определению 5 они изоморфны, как линейные пространства, и, как известно, выполняется (10).

Достаточность. Пусть dimV=dimV’=n (11). Выберем в V ортонормированный базис e1,…,en (12), в V’

i 1

§6. Ортогональные дополнения подпространств

Определение. Множество Н┴ всех векторов евклидова пространства V, ортогональных к каждому вектору его подпространства Н, называют ортогональным дополнением к Н.

Пример. В евклидовом пространстве векторов-отрезков на плоскости ОХ┴=ОУ.

Теорема 1. Ортогональное дополнение Н┴ к подпространству Н евклидова пространства V является

означает, что (у1+у2) Н┴. Мы доказали, что сумма любых двух векторов множества Н┴ принадлежит Н┴. Аналогично для любого действительного числа λ и любого х Н имеем:

(х, λ у1)= λ(х, у1)= λ∙0= 0, т.е. вектор λу1 ортогонален любому вектору х Н, а значит, принадлежит Н┴. Таким образом, множество Н┴ замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа и, следовательно, является подпространством евклидова пространства V.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть V – конечномерное евклидово пространство, Н – его подпространство. Тогда

справедливо равенство: V=Н Н┴.

Доказательство. Рассмотрим Н∩Н┴. Пусть (Н∩Н┴) h. Тогда (h,h)=0, и поэтому h=0 и Н∩Н┴=0. Докажем, что V=Н+Н┴. В Н выберем ортогональный базис h1,…,hs (он существует, так как Н – конечномерное евклидово пространство). Его можно дополнить до базиса V. Пусть h1,…,hs, hs+1,…,hn (1) – такой базис. Если к (1) применить процесс ортогонализации, начиная с вектора hs+1, то из (1) получится ортогональный базис V: h1,…,hs, bs+1,…,bn. Имеем: H = < h1,…,hs > (2). Рассмотрим подпространство S=<

§7. Унитарные пространства

Для случая линейных пространств над полем С комплексных чисел понятие скалярного произведения несколько видоизменяется, точнее, изменяется аксиома 1 и частично аксиома 4.

Определение 6. Будем говорить, что в линейном пространстве L над полем С определено скалярное произведение, если любой упорядоченной паре a, b L поставлено в соответствие единственное комплексное число (a, b) и выполняются следующие требования для любых a, b, с L и любого C:

1)(b, a) (a, b) ;

2)(a+b, c)=(a,c)+(b,c);

3)( a,b)=(a,b);

4)(a,a) R и (a,a)>0 при а 0.

Определение 7. Линейное пространство над С, в котором задано скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1) – 4), называется унитарным пространством.

Для большинства результатов, полученных в теории евклидовых пространств, можно получить

n

формуле: (a, b) i i .

i 1

Сосновными результатами, полученными в теории унитарных пространств, можно ознакомиться,

например, по книгам [5] и [3].