ОПРЕДЕЛИТЕЛИ N-ГО ПОРЯДКА §1. Определение определителя

Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:

Мы определим некоторое число, которое находится на основании этой матрицы – это определитель матрицы А, взяв за основу общие свойства хорошо известных определителей 2-го и 3-го порядков.

Рассмотрим всевозможные произведения элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки

Определение. Определителем d матрицы А (обозначение: d=|A|) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1), причем произведение (1) берется со знаком « + », если соответствующая ему подстановка (2) четная, и со знаком « - » – в противном случае.

Отметим, что т.к. различных подстановок n-ой степени n!, то и число различных членов определителя также n!.

Заметим, что знак члена (1) не зависит от порядка записи его сомножителей, т.к. четность подстановки (2) не меняется при перестановке ее столбцов. Т.к. число четных и нечетных подстановок n-ой степени при n≥2 одинаково (доказано в § 2 гл. 3 ), то в любом определителе порядка n>1 членов с « + » и « -

» будет по n2! .

Определитель первого порядка – само число, например, |-5|=-5.

§2. Свойства определителей Определение 1. Если в матрице А строки записать в качестве ее столбцов с теми же номерами, то

такое преобразование матрицы называется транспонированием, а полученная матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается

Доказательство. Пусть d=|A|. Произвольный член (1) определителя d входит в этот определитель со знаком, определяемым подстановкой (2). Рассмотрим транспонированный определитель d’=|A’|. Заметим, что все множители произведения (1) входят в разные строки и разные столбцы определителя d’. Поэтому произведение (1) является и членом определителя d’. Знак члена (1) в определителе d’ определяется подстановкой

знаком. Так как и в d, и в d’ по n! членов, то отсюда следует, что d= d’. Свойство доказано.

Следствие. В определителе строки и столбцы равноправны (т.е. каждое утверждение, доказанное на языке строк определителя, справедливо и для его столбцов, и обратно).

Свойство 2. Если в определителе поменять местами две какие-либо строки, то он изменит только

знак.

Доказательство. Рассмотрим произвольный определитель d.

произведения (6) находятся в разных строках и разных столбцах определителя d1, т.е. (6) является и членом

строке и ij-ом столбце. Подстановка (8) отличается от (7) только транспозицией чисел j и k в верхней строке, и потому четность подстановки (8) противоположна четности подстановки (7). Следовательно, каждый член определителя d является и членом определителя d1, но с противоположным знаком. Отсюда, как и выше, получаем: d1=-d.

Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:

Для доказательства достаточно представить первый определитель в виде алгебраической суммы и вынести множитель с.

Свойство 4 (достаточные признаки равенства определителя нулю).

Если выполняется хотя бы одно из следующих условий 1)–3), то определитель равен нулю.

1)Определитель содержит строку из нулей.

2)Определитель содержит две одинаковые строки.

3)Определитель содержит две пропорциональные строки.

Доказательство.

1)Пусть в определителе содержится нулевая строка. Тогда в каждый член определителя войдет множитель, равный нулю; следовательно, все члены определителя будут равны нулю, и определитель равен нулю.

2)Пусть определитель d содержит две одинаковые строки. Поменяем в нем местами эти строки. Тогда, с одной стороны, определитель не изменится, т.к. эти строки одинаковые. С другой стороны, по свойству 2 он изменит только знак, т.е. станет равным –d. Мы получили, что d=-d; следовательно, т.к. d – комплексное число, то d=0.

3)Пусть определитель содержит две пропорциональные строки.

Первый определитель в этой сумме равен исходному определителю d, а второй содержит две пропорциональные строки и по свойству 4 равен нулю. Свойство доказано.

Определение 2. Одна из строк определителя называется линейной комбинацией других, если она представима в виде суммы этих ее строк, умноженных на некоторые числа.

Свойство 7. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных строк, то определитель равен нулю.

Для доказательства определитель представляется в виде суммы (по свойству 5) и к слагаемым применяется свойство 4.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что все достаточные признаки свойства 4 являются частными случаями признака 7, т.е. (7) – самый общий достаточный признак равенства определителя нулю. В дальнейшем будет доказано, что этот признак является и необходимым.

§3. Вычисление определителей

Определение 1. Пусть d – определитель n-го порядка (с комплексными элементами). Определители порядков 1, 2, …, n, “cодержащиеся” в d, называются минорами определителя d.

Пусть минор М k-го порядка определителя d расположен на пересечениях строк с номерами i1, i2,

..., ik и столбцов с номерами j1, j2, ..., jk этого определителя.

Введем обозначение: SM=( i1+i2+ ...+ik )+( j1+j2+...+jk).

Определение 2. Определитель M’, который получается из определителя d путем вычеркивания всех строк и столбцов, в которых расположен минор М, называется дополнительным минором к минору М в d.

Отметим, что М и М’ – взаимно дополнительные миноры.

Замечание 1. Дополнительный минор есть не у каждого минора: например, у минора n-го порядка нет дополнительного.

Определение 3. Алгебраическим дополнением А минора М определителя d в d называется минор M’, умноженный на (−1)SM , т.е. A = (−1)SM M ' .

Обычно используют следующие обозначения: если aij – элемент определителя d, то через Mij обозначает дополнительный минор этого элемента (как минора первого порядка) в определителе d, а Aij –

алгебраическое дополнение элемента aij в d, т.е. Aij = (−1)i+ j Mij .

Вычисление определителя n-го порядка можно свести к вычислению одного или нескольких определителей (n-1)-го порядка. Сначала научимся вычислять определители, у которых в одной строке все элементы, кроме одного, отличны от нуля.

Лемма 1.

Доказательство. Если а11=0, то d=0.Пусть а11≠0. Рассмотрим произвольный ненулевой член определителя d. В силу условия леммы из первой строки в него войдет элемент a11. Поэтому все такие

знаками, определяемыми подстановкой (14).

меньше, но на четность подстановки это не влияет). Подстановка (17) имеет, очевидно, ту же четность, что и подстановка (14) (т.к. число 1 в нижней строке подстановки (14) не составляет инверсий).

Итак, S – алгебраическая сумма всевозможных членов минора M11 с их знаками, т.е. S=M11. Отсюда из равенства (15) получаем: d = a11 M11 (18). Лемма доказана.

Лемма 2.

каждый раз, когда мы меняем местами строки, меняется знак определителя. Получим следующий определитель:

В силу леммы 1, примененной к определителю d2, получаем: d2 = aij Mij (23) (мы использовали

то, что в определителе d2 дополнительным минором к элементу aij, будет тот же самый минор, который был дополнительным к aij в d, т.е. Mij ).

Из равенств (22) и (23) следует: d = (−1)i+ j aij Mij = aij Aij .

Лемма доказана.

Теперь мы можем получить правило вычисления любого определителя n-го порядка.

Теорема 5 (разложение определителя по строке). Определитель d равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения в d, т.е.

Доказательство. Рассмотрим в определителе d произвольную i-ую строку. Каждый элемент этой строки представим в виде суммы самого этого элемента и (n-1) нулей следующим образом:

ai1 = ai1 + 0 + 0 +... + 0 , ai 2 = 0 + ai 2 + 0 +... + 0 ,

…,

ain = 0 +... + 0 + ain

По свойству 5 определитель d тогда можно представить в виде суммы определителей:

Теперь, применяя лемму 2 к каждому из определителей, стоящих справа, и учитывая тот факт, что при нахождении алгебраических дополнений элементов i-ой строки элементы самой этой строки вычеркиваются, т.е. могут быть любыми, мы получим:

d = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain .

Теорема доказана.

Некоторые определители (например, содержащие «большие» миноры из нулей) удобнее вычислять с помощью разложения по нескольким строкам, сводящего вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителей k-го и (n-k)-го порядков.

Теорема Лапласа. Пусть в определителе n-го порядка d выделены какие-либо k строк (или k

столбцов), где 1 ≤ k < n . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка определителя d, содержащихся в этих строках, на их алгебраические дополнения равна самому определителю d.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Замечание 2. Пусть M1, M2, ..., Ms – все миноры k-го порядка в рассматриваемых строках определителя и, соответственно, А1, А2, ..., Аs – их алгебраические дополнения в d. Тогда теорема утверждает, что

d = M1 A1 + M 2 A2 +... + M s As .

§4. Еще одно свойство определителей Теорема 6 (фальшивое разложение определителя по строке). Сумма произведений элементов какой-

либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю.

Доказательство. Пусть дан определитель n-го порядка d. Рассмотрим две его строки:

(26)

Заменим элементы j-ой строки произвольными числами с1, с2, …, сn . Получим следующий определитель:

Разложим определитель ∆ по его j-ой строке. Учитывая, что остальные строки у определителей d и ∆ одинаковые, а также то, что алгебраические дополнения элементов j-ой строки не зависят от этой строки, мы получим:

∆ = с1 A j1 + с2 A j2 +... + сn A jn (27). Равенство (27) справедливо при любых ci C. Полагаем

c1 = ai1,c2 = ai2 ,...,cn = ain (28), т.е. в определителе ∆ в качестве элементов j-ой строки возьмем снова его i-

ую строку. Тогда получим определитель, равный нулю. Подставляя в равенство (27) значения с1, с2, …,сn из (28), получаем равенство (25).

Теорема доказана.

Замечание. Это свойство определителей используется в ряде доказательств (в частности, при установлении вида обратной матрицы).