Нетрудно видеть, что если f(x) P[x] ,то и f/(x) P[x].

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой

производной называется второй производной от многочлена f(x) и обозначается через f //(x) и т. д. Очевидно, что f(n)(x) = n!a0 и поэтому f[n+1] (х) = 0, т. е. (n+1)-я производная от многочлена n-й степени равна нулю.

Замечание 2. Производная многочлена n-ой степени (n>0) не обязательно будет многочленом (n-1)-ой степени. Так, если P – поле характеристики 2, то (x2+1)′=2x=(1+1)x=0. Но если P – поле характеристики

нуль, то при a0≠0 число na0≠0 при любом n, и потому при n≥1 производная многочлена n-ой степени под таким полем имеет степень (n-1).

Теорема 2. Пусть P – поле характеристики нуль. Если число с является k-кратным корнем многочлена

где g(x) уже не делится на (х – с). Дифференцируя равенство (5), получаем: f'(x) = k(x - с)k-1 g(x) + (x - с)k g/(x) , откуда f'(x) = (x - с)k-1 [kg(x) + (x-c)g/(x)].

Первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делится на (х-с), а второе на (х-с) не делится,

(ибо kg(x)≠0, т.к. P – поле характеристики нуль); поэтому вся эта сумма на (х-с) не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на (х - c)k-1 определено однозначно, мы получаем, что (х-с)k-1 является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен f (x), что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем

Следствие 1. k - кратный корень многочлена f(x) над полем характеристики нуль будет (k - s)-кратным s-

йпроизводной, этого многочлена (k≥s) и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x). Отсюда нетрудно получить

Следствие 2. Если f(x) – многочлен над полем характеристики нуль и для некоторого числа c f(c)=f

´(c)=…=f (k-1) (c)=0, но f (k) (c)≠0, то

c – корень кратности k многочлена f(x).

§6.Число корней многочлена в произвольном поле

Естественно поставить вопрос: сколько разных корней в поле P или его расширениях может иметь многочлен?

рассматриваемых вместе с их кратностями, не превосходит n.

Замечание 1. Многочлен f(x)=0 – единственный многочлен, имеющий бесконечно много корней (если P

– бесконечное поле).

Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем

Теорема 2. Пусть f(x) , g(x) P[x] и степени f(x) и g(x) не превосходят n. Если значения многочленов f(x) и

g(x) совпадают для (n+1) чисел c1,c2,..,cn+1 из P или любого его расширения , т.е. f(ci)=g(ci), (2)

i=1,...,n+1 , то f(x)=g(x).

Доказательство. Рассмотрим многочлен h(x) = f(x) – g(x). Докажем, что h(x)≡0.

Если h(x)≠0 то, в силу условия теоремы deg h(x) ≤ n. Далее, h(ci)=f(ci)-g(ci) ; в силу (2) h(ci)=0, т.е. h(x) имеет не менее (n+1) корней, а его степень меньше n+1. Получили противоречие со следствием теоремы 1.

Значит, h(x)=0, т.е. f(x)=g(x).

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть f(x), g(x) P[x], где P – бесконечное поле и f(c) = g(c) (3), для любого c P. Тогда f(x) = g(x).

Доказательство. Если f(x)=0, то из (3) следует, что g (c) = 0 для любого c P. Так как P – бесконечное поле, то g(x) имеет бесконечно много корней. Как отмечено в замечании 1, тогда g(x)=0, т.е.

f(x) = g(x).

Пусть теперь f(x)≠0 и g(x)≠0.

Таким образом, в правой части k-ro равенства стоит сумма всевозможных произведений по k корней, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности k. При n=2 эти формулы превращаются в известную из элементарной алгебры связь между корнями и коэффициентами квадратного многочлена.

§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел

Известно, что существуют многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных корней; х2+1 – один из таких многочленов. Можно было бы ожидать, что существуют многочлены с комплексными коэффициентами, не имеющие корней даже среди комплексных чисел, особенно если рассматриваются многочлены с любыми комплексными коэффициентами. Если бы это было так, то система комплексных чисел нуждалась бы в дальнейшем расширении. На самом деле справедлива следующая

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один комплексный корень.

Эта теорема является одним из крупнейших достижений всей математики и находит применение в самых различных областях науки. На ней основана, в частности, вся дальнейшая теория многочленов с комплексными коэффициентами, и потому эту теорему называли раньше (иногда называют и теперь) «основной теоремой алгебры». Однако, в действительности основная теорема не является чисто алгебраической. Все ее доказательства, – а их (после Гаусса, впервые доказавшего эту теорему в самом конце XVIII века) было найдено весьма много, – принуждены в большей или меньшей мере использовать так называемые топологические свойства действительных и комплексных чисел, т. е. свойства, связанные с непрерывностью.

Поэтому мы не будем приводить здесь ее доказательства. Краткое доказательство вы встретите позже в теории функций комплексной переменной.

Следствия из основной теоремы

Пусть дан многочлен n-й степени, n≥1 с комплексными коэффи-циентами:

f(x) = а0xn +а1xn-1+…+ аn-1x1 +аn .

Основная теорема алгебры комплексных чисел позволяет утверждать существование у f(x) комплексного корня с1. Поэтому многочлен f(x) обладает разложением f(x)=(x- с1)g(x).

Коэффициенты многочлена g(х) снова являются комплексными числами, и поэтому, если g(x) –

сi C , то доказана

Теорема 5. Для всякого многочлена f (x) С[x]\ С поле С является полем разложения.

Отсюда из следствия 3 теоремы существования корня получаем

Следствие 1. Разложение (1) для многочлена f(x) C[x]\C над полем С единственно (с точностью до порядка сомножителей).

Следствие 2. Каноническое разложения многочлена f (x) С[x]\ С над полем С имеет вид

Такое разложение единственно (с точностью до порядка сомножителей). Отсюда получаем

Следствие 3. Всякий многочлен f(x) степени n(n≥1) с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом их кратностей).

Заметим, что наша теорема справедлива и при n = 0, так как многочлен нулевой степени не имеет корней. Эта теорема неприменима лишь к многочлену 0, не имеющему степени и равному нулю при любом значении х.

где k1+ k2+…+kl = n – каноническое разложение многочлена из С[x]. Здесь ks – кратность корня as (s = 1,...,l).

Определение. Нахождение многочлена

g(x) = (x − a1 ) (x − a2 ) ......(x − al ), имеющего все те же корни, что и f(x), но кратности 1, называют отделением кратных корней

Теорема 6. Чтобы у f (x) С[x]\ С отделить кратные корни, достаточно f(x) разделить на (f(x),f’(x)):

g(x)= f (x) .

( f (x), f / (x))

Доказательство. Рассмотрим производную f /(x). По доказанному ранее для f /(x) числа as – ее корни кратности ks-1.

Поэтому f /(x) делится на (x − as )ks −1 для любого s = 1,..,l. Так как ((x - as),(x - ai)) =1 для i≠s, то f /(x)

где q(x) не делится на (x − as ) для любого s = 1,..,l, ибо (ks – 1) – кратность корня as многочлена f/(x). Отсюда и из (3) следует что

Замечание. Отделение корней иногда помогает найти корни f(x) (если g(x) имеет небольшую степень).

§9.Многочлены с действительными коэффициентами

Теорема 7. Если комплексное (но не действительное) число a служит корнем многочлена f(x) с

действительными коэффициентами, то корнем для f(x) будет и сопряженное число a , причем эти корни будут иметь одну и ту же кратность.

Доказательство. Пусть многочлен с действительными коэффи-циентами f(x) = c0xn +c1xn-1+…+ cn-1x1 +cn имеет комплексный корень a . Тогда

c0an + c1an−1 +... + cn−1a1 + cn =0 .

Мы знаем, что последнее равенство не нарушится, если в нем все числа заменить на сопряженные. Однако все коэффициенты сi, а также число 0, стоящее справа, будучи действительными, останутся при этой замене без изменения, и мы приходим к равенству

не является его корнем, в противоречие с доказанным выше. Отсюда следует, что k = t.

Таким образом, теперь можно сказать, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены. Отсюда и из разложения (1) из §8, в силу его единственности (следствие 1 теоремы 5) вытекает следующий результат:

Следствие 1. Всякий отличный от нуля многочлен f(x) с действительными коэффициентами представим, притом единственным способом (с точностью до порядка множителей), в виде произведения своего старшего коэффициента а0 и многочленов с действительными коэффициентами: линейных вида х-сi, соответствующих его действительным корням, и квадратных вида (1), соответствующих парам сопряженных комплексных корней.

Следствие 2. Всякий отличный от нуля многочлен f(x) с действительными коэффициентами представим

Такое разложение называют каноническим разложением многочлена с действительными коэффициентами над полем R.

Справедливость этого утверждения вытекает из следствия 1.

Следствие 3. Число недействительных корней отличного от нуля многочлена с действительными коэффициентами всегда четно.

Следствие 4. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один

действительный корень.

§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями C и R

Ниже мы введем понятие многочленов, играющих в теории многочленов ту же роль, что простые числа играют в теории целых чисел.

Простое число нельзя разложить в произведение двух множителей, меньших по модулю. Аналогично определяются неприводимые многочлены, только вместо модулей рассматриваются степени многочленов.

Определение 1. Многочлен f (x) P[x]\ P (где P – произвольное поле) называют приводимым над полем P, если он представим в виде f (x) =ϕ(x)ψ(x) (1), где ϕ(x), ψ(x) P[x] (2), причем degϕ(x) < deg f (x) , degψ(x) < deg f (x) . В противном случае f (x) называется неприводимым над полем

P.

Из определения видно, что элементы поля P мы не относим ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам (аналогично числа ±1 – ни простые, ни составные).

Замечание 1. Другими словами, многочлен f (x) , не содержащийся в поле P, называется неприводимым

Замечание 2. Если многочлен приводим над P, то при расширении поля P, он, очевидно, остается приводимым.

С другой стороны, как показывает приведенный выше пример, неприводимый многочлен над P при расширении поля до P может стать приводимым над P .

. Отсюда следует, что ϕ(x)= c , ψ(x)= d и f (x) = cd , c,d P \ 0 .

В последнем равенстве слева стоит многочлен первой степени, а справа – нулевой степени. Такое равенство невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму.

Найдем все неприводимые многочлены над полями C и R.

Неприводимые многочлены над полем C

Теорема 8. Неприводимыми многочленами над полем C является все многочлены первой степени, и только они.

Доказательство.

1.Если deg ρ(x) =1, то по лемме 1 ρ(x) неприводим над C.

2.Докажем обратное утверждение. Пусть ρ(x) C[x] и ρ(x) неприводим над полем C.

По определению 1 (deg ρ(x))> 0 ; тогда по основной теореме алгебры комплексных чисел ρ(x) имеет корень c C , то есть ρ(x)= (x −c)ϕ(x) (3) и ϕ(x) C[x], (x −c) C[x].

Так как ρ(x) неприводим над C, то из (3) следует, что degϕ(x) = 0 , то есть ϕ(x)= a и ρ(x)= a(x −c). Значит, (deg ρ(x))=1.

различные простые числа.

Неприводимые многочлены над полем R

Теорема 9. Неприводимыми многочленами над полем R являются:

1.все многочлены первой степени;

2.все многочлены второй степени, имеющие пару сопряженных недействительных корней,

итолько перечисленные в пунктах 1 и 2 многочлены.

Доказательство.

I. Сначала докажем, что многочлены типов 1 и 2 неприводимы над полем R.

1.Многочлены первой степени неприводимы над R по лемме 1.

2.Пусть ϕ(x)= a(x −c)(x −c), где c ≠ c . Он неприводим над R, потому что не имеет действительных

корней.

II. Докажем обратное утверждение. Пусть ρ(x) R[x]\ R и

неприводим над R. Возможны два случая:

а) Существует c R , что ρ(c) = 0 . Тогда

ρ(x) = (x −c)ϕ(x) (4), где ϕ(x) R[x].

По определению неприводимого многочлена из (4) следует, что degϕ(x)= 0 , то есть ϕ(x)= a и ρ(x)= a(x −c) – многочлен первой степени.

б) ρ(x) не имеет действительных корней. Так как ρ(x) C[x], то он имеет комплексный корень с.