многочленов

Дистрибутивность вытекает из равенства:

∑(ak + bk )cl = ∑ak cl + ∑bk cl ,

k +l =i k +l =i k +l =i

так как левая часть этого равенства является коэффициентом при хi в многочлене [f(x) + g(x)]h(x), а правая часть — коэффициентом при той же степени неизвестного в многочлене f(x) h(x)+g(x)h (x).

Итак, P[x] кольцо. В силу утверждения 1 в нем нет делителей нуля. Доказана.

Теорема 1. P[x] – кольцо без делителей нуля. Посмотрим, не будет ли P[x] полем.

Выше отмечено, что роль единицы при умножении многочленов играет число 1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени. С другой стороны, многочлен f(x) тогда и только тогда обладает обратным

числом а, то обратным многочленом служит для него число а-1 P. Если же f(x) имеет степень n>1, то степень левой части равенства (5), если бы многочлен f-1(х) существовал, была бы не меньше п, в то время как справа стоит многочлен нулевой степени.

Отсюда вытекает, что не всякий многочлен имеет в Р[x] обратный. Поэтому кольцо P[x] не является полем. В этом отношении (и, как мы увидим, во многих других) кольцо P[x] напоминает кольцо Z целых чисел.

Замечание. Многочлены из P[x] можно рассматривать и как функции, заданные на P. Но понятия

равенства функций (f(x)=g(x) f(x0)=g(x0) x0 P) отличается от понятия равенства многочленов (как тождественного равенства). В дальнейшем мы получим равносильность двух понятий равенства – алгебраического и теоретико-функционального, но только для бесконечных полей. В общем случае эти понятия не совпадают.

Пример. Рассмотрим многочлены f(x)=x2+1 и g(x)=x+1 над полем P={0,1} из двух элементов. Имеем: f(1)=12+1=0; g(1)=1+1=0; f(0)=02+1=1; g(0)=0+1=1.

Итак, g(x0)=f(x0) x0 P, т.е. f(x) и g(x) – равные функции, но как многочлены они не равны.

§2. Деление с остатком

Мы отмечали, что у колец P[x] и Z много общего.

Аналогия P[x] и Z проявляется и в том, что для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком. Этот алгоритм для случая многочленов с действительными коэффициентами известен еще из элементарной алгебры. Так как, однако, мы рассматриваем теперь случай многочленов с коэффициентами из любого поля, следует дать заново все относящиеся сюда формулировки и привести доказательства.

Теорема 1. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) из P[x] при g(x)≠0 можно найти такие многочлены q(x) и r(x) из P[x], что

f(x)=g(x)q(x) + r(x), (6)

причем или степень r (х) меньше степени g(x), или же r(х) = 0. Многочлены q(x) и r(х), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Доказательство. Докажем сначала вторую половину теоремы. Пусть существуют еще многочлены q(x)

причем степень r(x) снова меньше степени g(x). Приравнивая друг другу правые части равенств (6) и (7), получим:

g(x)[q(x) − q(x)] = r(x) − r(x).

Степень правой части этого равенства меньше степени g(x), степень же левой части была бы при q(x) − q(x) ≠ 0 больше или равна степени g(x) (мы учитываем, что g(x)≠0). Поэтому должно быть

q(x) − q(x) =0 т. е. q(x) = q(x) , а тогда и r(х) = r (х), что и требовалось доказать.

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Если f(x)=0,то f(x)=0 g(x)+0. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют, соответственно, степени п и s. Если п<s, то можно положить q(x)=0, r(x)=f(x). Если же п≥s, то воспользуемся тем же методом ”деления столбиком”, каким в элементарной алгебре производилось деление многочленов с действительными коэффициентами, расположенных по убывающим степеням неизвестного. Пусть

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, a0≠0, Полагаяg(x)=b0xs+b1xs-1+…+bs-1x+bs, b0≠0.

мы получим многочлен, степень .которого меньше п. Обозначим эту степень через n1, а старший коэффициент многочлена f1(х) – через а10. Положим, далее, если все еще n1≥s1

обозначим через n2 – степень, а через а20 – старший коэффициент многочлена f2 (x)t; положим затем

и т. д.

Так как степени многочленов f1 (x),f2 (х), ,,, убывают. п≥n1≥n2≥ ..., то мы дойдем после конечного числа шагов до такого многочлена fк(х),

степень которого nk меньше s, после чего наш процесс останавливается. Складывая теперь равенства (8),

(81), ..., (8k-1), мы получим:

удовлетворяют равенству (6), причем степень r(х) меньше степени g(x). Теорема доказана.

Замечание. Многочлен q(х) называется частным от деления f(х) на g(x), а r(х) –остатком от этого деления.

§3 Делители. Свойства делимости многочленов

Определение. Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и ϕ (х) из кольца P[x]. Если остаток от деления f(x) на ϕ (х) равен нулю, то говорят, f(x) делится (или нацело делится) на ϕ (x), а многочлен ϕ (x) называется делителем многочлена f(x). Если ϕ (x) – делитель f(x), то часто пишут: ϕ (x) f(x) (ϕ (x) делит f(x)) или f(x) ϕ (x) (f(x) делится на ϕ (x)).

Утверждение 1. Многочлен ϕ (х) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(x), если существует многочлен ψ (x), удовлетворяющий равенству

Из доказанной теоремы о единственности многочленов q(х) и r(х), удовлетворяющих равенству f(x)=ϕ (x)q(x)+r(x)

иусловию, что степень r (х) меньше степени ϕ (x), в нашем случае следует, что частное от деления f(x) на

ϕ(х) равно ψ (x), а остаток равен нулю.

Утверждение доказано.

Понятно, что если равенство (1) имеет место, то ψ (x) также будет делителем для f(x). Очевидно, далее,

что степень ϕ (х) не больше степени f(x).

Заметим, что если многочлен f(x) и его делитель ϕ (х) оба содержаться в кольце P[x], то и многочлен ψ (x) также принадлежит кольцу P[x], так как он разыскивается при помощи алгоритма деления с остатком.

Здесь (x2+1) R(x), но (x ± i) C[x] и не содержатся в R[x].

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов, которые найдут в дальнейшем многочисленные применения. Обратите внимание на то, что эти свойства аналогичны соответствующим свойствам целых чисел.

Свойства делимости многочленов

Все многочлены, о которых говорится в свойствах делимости, принадлежат P[x]. Элементы поля P мы назовем числами.

I. Если f(х) делится на g(x), a g(x) делится на h(x), то f(x) будет делиться на h(x).

В самом деле, по условию f(x) = g(х)ϕ (х) и g(x)=h(x)ψ (x), а поэтому f(x) = h(x)[ψ (x) ϕ (x)].

П. Если f(x) и g(x) делятся на ϕ (х), то их сумма и разность также делятся на ϕ (x).

Действительно, из равенств f(x)= ϕ (x) ψ (х) и g(х) = ϕ (х) χ (х) вытекает f(x)±g (х)= ϕ (х) [ψ (х) ± χ (х)]. Ш. Если f(x) делится на ϕ (x), то произведение f(x) на любой многочлен g(x) также будет делиться на ϕ

(x).

Действительно, если f(x) = ϕ (x) ψ (х) ,то f(x)g (х) = ϕ (х)[ ψ (x)g(x)].

Z этим свойством обладают только числа (±1). Поэтому аналогичное V свойство кольца Z – всякое целое число делится на (±1), и других целых чисел, на которые все целые делятся, нет.

VI. Еcли f(x) делится на ϕ (x), то f(х) делится и на cϕ (х), где с – элемент поля P , отличный от нуля. В самом деле, из равенства f(x) = ϕ (x)ψ (x) следует равенство

делятся друг на друга, когда g(x)=cf(x), c≠0 (для целых чисел: два целых числа тогда и только тогда делятся

где c≠0, будет делителем и для другого многочлена.

Замечание 2. Благодаря отмеченным выше связям свойств делимости многочленов и целых чисел многим утверждениям для Z, в которые входит фраза “с точностью до знака”, в P[x] соответствует фраза “с точностью до множителей нулевой степени”.

§4.Наибольший общий делитель

Пусть даны произвольные многочлены f(x) и g(x) из P[x]. Многочлен ϕ (x) P[x] будет называться

общим делителем f(x) и g(x), если он служит делителем каждого из этих многочленов. Свойство V (см. выше) показывает, что к числу общих делителей многочленов f(x) и g(x) принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми.

В общем же случае многочлены f(x) и g(x) могут обладать общими делителями, зависящими от х, и мы хотим ввести понятие о наибольшем общем делителе этих многочленов.

Если это делать по аналогии с целыми числами, то наибольшим общим делителем f(x) и g(x) надо называть их общий делитель, который больше всех остальных; но для многочленов (и даже для комплексных чисел) нельзя ввести естественным образом понятия > и <. Поэтому мы поступим иначе.

Определение 1. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) из P[x] называется такой многочлен d(x) из P[x], который является их общим делителем и сам делится на любой общий делитель этих многочленов.

Обозначается наибольший общий делитель многочленов f(х) и g(x) символом (f(х), g(x)) и пишется: d(x) = (f(х), g(x)).

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых ненулевых многочленов f(x) и g(x). Ниже на этот вопрос будет дан положительный ответ. Одновременно будет дан метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов. Понятно, что мы не можем перенести сюда тот способ, каким обычно разыскивается наибольший общий делитель целых чисел (связанный с разложением на простые множители), так как пока не имеем для многочленов ничего аналогичного такому разложению целого числа. Для целых чисел существует и другой