§4. Обратная матрица

Возникает вопрос: существует ли для данной матрицы А Мn такая матрица А-1, чтобы

Для решения этого вопроса рассмотрим следующее утверждение.

Теорема (об определителе произведения матриц). Если A, B M n , то определитель произведения этих матриц равен произведению определителей сомножителей, т.е.

Доказательство этой теоремы можно найти в [1].

Следствие 1. Определитель произведения конечного числа матриц равен произведению определителей сомножителей, т.е. A1 A2 ... An = A1 A2 ... An .

Доказательство данного утверждения проводится методом математической индукции.

Определение. Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае – невырожденной.

Следствие 2. Если А и В – две невырожденные матрицы, то произведение АВ – также невырожденная матрица.

Очевидно, что если А ≠ 0, В ≠ 0, то в силу теоремы АВ = А В ≠ 0.

Следствие 3. Если хотя бы одна из матриц-сомножителей вырожденная, то и их произведение будет вырожденной матрицей.

Доказательство очевидно.

Следствие 4. Вырожденные матрицы не имеют обратных.

Доказательство. Пусть А = 0. Предположим, что существует обратная матрица А-1 к матрице А,

т.е. A A−1 = E . Тогда по следствию 3 матрица Е – вырожденная, т.к. А – вырожденная; но Е =1 ≠ 0 .

Полученное противоречие доказывает следствие 4.

Следствие 5. Если у матрицы А есть обратная, то A – невырожденная матрица.

Пусть теперь А – произвольная невырожденная матрица n-го порядка.

Вней j-й столбец представляет собой набор алгебраических дополнений j-ой строки определителя d

вестественном порядке.

Матрица А* называется присоединенной к матрице А. Найдем произведение матриц А и А*.

Заметим, что мы использовали правило разложения определителя по строке и фальшивое разложения определителя по строке.

Из равенства (1) видно, что если d≠0, т.е. матрица А невырожденная, то разделив все элементы матрицы А* на d, получим матрицу А-1:

A A−1 = A−1 A = E .

Отметим, что из этого равенства следует: |A| |A-1|=|E|=1, то есть |A-1|= 1A = d1 .

Доказано Утверждение 1. У каждой невырожденной матрицы существует хотя бы одна (невырожденная)

обратная матрица вида (2).

Единственность единичной и обратной матриц

Пусть Е – единичная матрица n-го порядка и Е1 – другая единичная матрица того же порядка. По определению единичной матрицы имеем: для любой матрицы А n-го порядка выполняются равенства:

A E = E A = A ,

A E1 = E1 A = A .

Докажем, что Е=Е1. Рассмотрим произведение E E1.

Имеем:E E1 = E , т.к. Е1 – единичная матрица; с другой стороны, E E1 = E1 , т.е. Е – единичная матрица. Следовательно, Е=Е1.

Пусть А – любая невырожденная матрица n-го порядка. Докажем, что она имеет ровно одну обратную матрицу.

Как показано выше, хотя бы одна обратная к A матрица А-1 существует.

Пусть В – тоже обратная матрица к А, т.е. А В = В А= Е, A A−1 = A−1 A = E .

Рассмотрим произведение А-1АВ. С одной стороны, в силу ассоциативности умножения матриц, A−1 A B =(A−1 A) B = E B = B ; с другой стороны, A−1 A B = A−1 (A B) = A−1 E = A−1 . Следовательно, А- 1=В.

Мы доказали Утверждение 2. У каждой невырожденной матрицы существует ровно одна обратная матрица.

§5. Решение матричных уравнений

Определение 1. Прямоугольные матрицы С и D будем умножать по тому же правилу, что и квадратные, если число столбцов матрицы С равно числу строк матрицы D (чтобы строку первой матрицы можно было умножить на столбец второй матрицы по старому правилу).

Можно проверить, как и для квадратных матриц, что умножение прямоугольных матриц ассоциативно, т.е. если матрицы (АВ)С и А(ВС) существуют, то они равны.

Рассмотрим уравнение вида АХ=В (1), где А и В – данные матрицы (вообще говоря, прямоугольные), Х – неизвестная матрица.

Пользуясь ассоциативностью умножения прямоугольных матриц, мы можем решать матричные уравнения (1) для некоторых «хороших» матриц А.

1. Если в уравнении (1) матрицы А и В произвольные, то это уравнение сводится к системе линейных уравнений, если число строк s матрицы А равно числу строк k матрицы В, т.е. s=k (2). Если равенство (2) не выполняется, то уравнение (1) не имеет решения.

2. Пусть А – невырожденная квадратная матрица n-го порядка и матрица В имеет n строк. Предположим, что уравнение (1) имеет хотя бы одно решение, т.е. существует матрица Х0 такая,

что АХ0=В (3).