ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ §1. Алгебраическая операция

Дано некоторое множество М.

Определение. Будем говорить, что во множестве М определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов a и b из этого множества, взятых в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества М.

Заметим, что этим мы определяем только однозначные операции.

Условие, что результат операции с М называется замкнутостью операции.

Чаще всего алгебраическую операцию называют либо умножением (ab=c), либо сложением (a+b=c). Примеры.В произвольном непустом множестве М можно ввести операции:

1.a b = a, a,b M ;

2.пусть c0 M , тогда a ×b = c0 , a,b M .

§2. Группы

Группы – множества с одной алгебраической операцией (чаще всего ее называют умножением). Поэтому мы приводим сначала определение группы по умножению.

Определение 1. Множество G, в котором определена операция умножения, называется группой (относительно этой операции), если выполняются следующие требования (аксиомы группы):

1.Ассоциативность: a(bc) = (ab)c, a,b,c G .

2.Существование единичного элемента: 1 G : a 1 =1 a = a, a G .

3.Существование обратного элемента: ( a G) a−1 G : a a−1 = a−1 a =1.

Замечание. Точно также, как для матриц, можно доказать единственность единичного и обратного элементов в группе.

Примеры групп по умножению:

1.Самая маленькая группа может состоит из одного элемента – единицы.

2.Множество из двух элементов {1,−1}.

Определение 2. Множество G, в котором определена операция сложения, называется группой (относительно этой операции), если выполняются следующие условия:

1.Ассоциативность: a + (b + c) = (a +b) + c, a,b,c G .

2.Существование нулевого элемента:

6. Ф – множество всех функций действительной переменной с одной и той же областью определения. Роль нуля играет функция, все значения которой равны нулю: f(x)≡0; функция -f(x) – противоположная f(x).

§3. Кольца

Кольца – это множества с двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением. Определение 1. Множество К, в котором определены две алгебраические операции – сложение и

умножение, называется кольцом, если 1. К – группа по сложению.

2. Сложение коммутативно: a +b = b + a, a,b K . 3. Умножение ассоциативно: a(bc) = (ab)c, a,b,c K .

4. Выполняются два дистрибутивных закона: (a +b)c = ac +bc, a,b,c K .

c(a +b) = ca +cb

Заметим, что дистрибутивные законы – единственные аксиомы, связывающие сложение и умножение.

Примеры колец:

1.К={0}.

2.Множество целых чисел Z.

3.Множество четных чисел Z2.

4.Множество комплексных чисел.

5.Mn(R) – множество всех матриц n-го порядка с элементами из R.

6.Ф – множество всех функций действительной переменной, определенных на R.

Замечание 1. В книге [1] в определении кольца требуется и коммутативность умножения. Это – более частный вид колец. Обычно такая коммутативность не требуется.

Некоторые следствия из аксиом кольца

Определение 2. Разностью элементов а и b из кольца К назовем a −b = a + (−b) K .

Из аксиом кольца нетрудно получить:

1. (a −b)c = ac −bc .

По определению разности: (a −b) +b = a + (−b) +b = a +[(−b) +b]= a . Умножим обе части на с: (a – b)c + bc =ac. Отсюда (a – b)c = ac –- bc (использовалось определение 2).

2. a 0 = 0, a K .Действительно, a 0 = a(b −b) = ab −ab = 0 (мы использовали свойство 1).

ab +(−a)b = (a +(−a))b = 0 b = 0 , т.е. ab +(−a)b = 0; значит, справедливо равенство (3).

Замечание 2. Мы видим, что в кольце выполняются три операции: сложение, вычитание и умножение. Деления в кольце может и не быть. Например, в кольце целых чисел нельзя выполнить деление числа 2 на 4, т.к. результат операции должен быть элементом этого же кольца.

Делители нуля

Определение 3. Пусть К – кольцо. Элементы a,b K называются делителями нуля, если a ≠ 0 ,

b ≠ 0 , но a b = 0 .

Во многих кольцах делителей нуля нет; такими являются, например, все числовые кольца, т.е.

( a P \ 0) a−1 P ;

4. умножение коммутативно.

Примеры полей:

1.Множество рациональных чисел Q.

2.Множество действительных чисел R.

3.Множество комплексных чисел C.

4.Множество Р2={0,1} с новым правилом сложения: 1+1=0 (в остальном сложение и умножение 0 и 1 обычное). Это единственный пока пример конечного поля (поле Р2 можно представить, как поле из двух элементов – четные числа (0) и нечетные числа (1)).

Определение поля можно дать и более компактно.

Определение 2. Множество Р, в котором определены две алгебраические операции – сложение и умножение, называется полем, если

1.. Р ≠ 0

2.Р – коммутативная группа по сложению.

3.Р\0 – коммутативная группа по умножению.

4.В Р выполняется дистрибутивный закон.

Некоторые следствия из аксиом поля

1.В любом поле можно определить деление a на b (при b≠0), полагая ba = a b−1 .

2.В поле нет делителей нуля.

Определение 3. Пусть Р – некоторое поле и 1 – его единичный элемент. Сумму 1+1+…+1=n∙1 называют кратным единицы.

Возможны случаи:

I. n1 ≠ 0 (1) n N . В этом случае поле Р называется полем характеристики 0. II. m N : m1 = 0 .

Определение 4. Наименьшее натуральное число р, для которого р1=0 называется характеристикой поля (говорят, что поле Р имеет характеристику р).

Пример. Поле Р2, описанное выше, имеет характеристику 2, т.к. 1 ≠ 0 , но 2 1 = 0 (ибо 1+1=0). Теорема 1. Если поле Р имеет ненулевую характеристику р, то р – простое число. Доказательство. Предположим противное, пусть число р – составное, т.е. p = s t ,

где 1 < s,t < p . Тогда p 1 =1+1+... +1 = (s 1)(t 1) = 0 . (1)

p

предположение неверно, и число р простое. Теорема доказана.

Теорема 2. Если Р – поле характеристики p ≠ 0 , то для любого а из поля Р p a = 0 . Действительно, т.к. по определению характеристики поля p 1 = 0 ,

a P \ 0 имеем: n a ≠ 0 .

Действительно, na=(n 1)a≠0, т.к. n1≠0 (по определению поля характеристики 0), a≠0 и в поле нет делителей нуля.

§5. Подполя и расширения полей

Определение 1. Пусть Р – некоторое поле. Подмножество S P называется подполем поля Р, если

S само является полем относительно тех же операций, что и Р. В этом случае Р называется расширением поля S.

Из определения подполя видно, что для того, чтобы S было подполем поля Р достаточно выполнения следующих условий для любых s1, s2 S :

1. s1 +s2 S ;

2. s1 s2 S ;

3.(-s1) S ;

4.s1−1 S при s1 ≠ 0 .

Остальные аксиомы поля для S проверять не нужно, т.к. они выполняются для любых элементов из

поля Р.

Примеры.

Q – поле рациональных чисел является подполем поля комплексных чисел С; С – расширение поля

Q.

Легко доказывается следующая Теорема 3. Пересечение любого множества подполей поля Р также является подполем поля Р.

Определение 2. Пусть S – некоторое подполе поля Р и a P \ S . Обозначим через S(a) = Pα

α I

пересечение всех подполей Pd поля Р, таких, что Pα S и a Pα . Подполе S(a) называется расширением поля S, полученным путем присоединения к нему элемента а.

Отметим, что подполе S(a) существует ввиду теоремы 3. Нетрудно видеть, что S(a) – минимальное расширение поля S, содержащее элемент а.

§6. Изоморфизм колец (полей)

Определение. Пусть K и K’ два кольца (поля). Они называются изоморфными ( К К′), если существует биективное отображение ϕ : К → К′ такое, что a,b K

ϕ(a +b) =ϕ(a) +ϕ(b).

ϕ(a b) =ϕ(a) ϕ(b)

Само такое отображение φ называется изоморфным отображением или изоморфизмом.

С точки зрения алгебры изоморфные алгебраические структуры считаются одинаковыми и всегда

§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений

Проведенное в §1 главы I построение поля С содержало ряд нестрогостей. Сейчас мы их устраним на языке подполей и расширений.

Задача, которую мы ставили при построении комплексных чисел, теперь ставится так: найти

расширение поля R с помощью корня уравнения x2 +1 = 0 .

Если через i обозначить какой-то корень этого уравнения, то нам нужно найти R(i) – минимальное расширение поля R,

содержащее i.

Решение этой задачи проводим по следующим этапам:

оси ОХ. Проверяем, что S – подполе поля С.

Для этого достаточно убедиться в следующем: (a,0),(b,0) S

(a,0)+ (b,0)= (a +b,0) S ,

(a,0) (b,0)= (a b,0) S .

3. Рассмотрим отображение ϕ : а →(а,0), т.е. ϕ : R → S . Проверяем, что φ – изоморфизм полей R и S (это нетрудно), т.е. R S . На основании этого изоморфизма отождествляем точки оси ОХ и действительные числа, т.е. полагаем: (a,0)≡ a . Получаем, что R C ; следовательно, С – расширение поля

R.

4. Рассмотрим точку i = (0,1), и проверяем, что i2 +1 = 0 (в §1 гл.1 это сделано). Как и в §1 гл.1, получаем алгебраическую форму комплексных чисел, т.е. С = {a + bi | a,b R}.

5.Проверим, что R(i)=C.

Т.к. R C и R(i) поле, то из i R(i) для любых a,b R имеем: bi R(i) ,т.к. i R(i) ; a R(i) . А тогда a +bi R(i) . Следовательно, C R(i) ; но R(i) С; значит, C = R(i) .