ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ §1. Основные определения

Определение. Пусть А и В – два множества. Говорят, что задано отображение f множества А в В, если указан закон, по которому любому элементу а из А ставится в соответствие единственный элементb из множества В:

Отображения также называют функциями.

Будем использовать следующие обозначения:

ƒ: А→ В. Отображение f множество А переводит в В;

Аf В. Множество А отображается в В при отображении f.

Если элемент а при отображении f переходит в элемент b, то пишут f(a)=b (левая запись) или af=b (правая запись). Элемент b называется образом элемента а при отображении f; элемент а – прообразом b при

этом отображении. Множество {f (a) | a A}= f (A) – образ множества А при отображении f. Отметим, что

f(A) B .

АB

f f(A)

А– область определения отображения f; В – область значений отображения f (иногда –например, в школьной математике – областью значений считается f(A), но мы будем ею считать В).

Отметим, что мы рассматриваем только однозначные отображения.

Из всех отображений особо выделяют следующие виды:

1. Сюръекция (отображение «на») – это отображение f : A → B такое, что f (A) = B . При сюръекции у каждого элемента из множества В существует хотя бы один прообраз.

2.Инъекция – отображение, при котором разные элементы переходят в разные, т.е. если a, a1 A и a ≠ a1 , то f (a) ≠ f (a1) .

3. Биекция, или взаимно однозначное отображение – это отображение, которое одновременно является инъекцией и сюръекцией.

Примеры отображений:.

1. Пусть А – любое множество и В – множество, состоящее из одного элемента, т.е. B={b}.

А .b

Отображение f (a) = b, a A является сюръекцией, т.к. f(A)=B.

f ϕ : A →C.

Мы будем пользоваться левой записью (отметим, что в книге [1] используется правая). Произведение отображений ниже мы будем обозначать через fϕ .

Замечание 1. Из определения умножения отображений следует, что перемножать можно не любые отображения, а только те, у которых «средние» множества одинаковые. Например, если f : A → B,ϕ : D →C , то при В=D можно перемножать отображения f и φ, а при В≠D нельзя.

Свойства умножения отображений

Определение 2. Отображения f и g называются равными, если у них совпадают области определения и области значений, т.е. f : A → B, g : A → B и выполняется условие: a A справедливо

равенство f (a) = g(a) .

1.Умножение отображений некоммутативно. Другими словами, если fφ и φf существуют, то они не обязательно равны.

ψ(ϕf ). (1)

Очевидно, что (ψϕ)f : A → D,ψ(ϕf ): A → D .

Для доказательства равенства (1) в силу определения равенства отображений требуется проверить, чтоa A : ((ψϕ)f )(a) = (ψ(ϕf ))(a) (2). Пользуясь определением умножения отображений (в левой записи)

(ψ(ϕf ))(a) =ψ((ϕf )(a))=ψ(ϕ(f (a))). (4)

Т.к. в равенствах (3) и (4) равны правые части, то равны и левые, т.е. справедливо равенство (2), а тогда выполняется и (1).

Замечание 2. Ассоциативность умножения позволяет однозначно определить произведение трех, а затем и любого конечного числа множителей.

несколько прообразов в А, либо вообще не быть прообразов. Однако для биективного отображения f обратное определить можно.

Пусть f : A → B – биекция, f (a) = b,a A,b B . Тогда для любого элемента b B по определению биекции существует единственный прообраз при отображении f – это элемент а. Теперь можно определить f −1 : B → A , полагая f −1(b) = a( b B) . Нетрудно видеть, что f −1 – биекция.

Итак, у всякого биективного отображения имеется обратное.

§3. Преобразования множеств

Всякое отображение f : A → A называется преобразованием множества А. В частности, любая

функция действительной переменной является преобразованием множества R.

Примерами преобразований множества точек плоскости служат поворот плоскости, симметрия относительно оси и т.д.

Так как преобразования – это частный случай отображений, то для них справедливо всё сказанное выше об отображениях. Но умножение преобразований множества А имеет и специфические свойства:

1.для любых преобразований f и φ множества А произведения fφ и φf существуют;

2.существует тождественное преобразование множества А ε : ε(a) = a, a A .

Нетрудно видеть, что для любого преобразования f этого множества fε =εf = f , так как, например, (fε)(a) = f (ε(a))= f (a) . Значит, преобразование ε играет роль единичного элемента при умножении преобразований.