Курс лекций / Лекция №7

3.4. Распределение напряжений в случае плоской задачи

Этот случай соответствует напряженному состоянию под стеновыми фундаментами, подпорными стенками, насыпями и другими сооружениями, длина которых значительно превосходит их поперечные размеры:

,

где l – длина фундамента; b – ширина фундамента. При этом распределение напряжений под любой частью сооружения, выделенной двумя параллельными сечениями, перпендикулярными оси сооружения, характеризует напряженное состояние под всем сооружением и не зависит от координат, перпендикулярных к направлению загруженной плоскости.

Рассмотрим действие погонной нагрузки в виде непрерывного ряда сосредоточенных сил Р, каждая из которых приходится на единицу длины. В этом случае составляющие напряжений в любой точке М с координатами R и  могут быть найдены по аналогии с пространственной задачей:

(3.27)

Если соотношения геометрических характеристик рассматриваемых точек z, y, b представить в виде коэффициентов влияния K, то формулы для напряжений можно записать так:

(3.28)

Значения коэффициентов влияния K_z, K_y, K_yz табулированы в зависимости от относительных координат z/b, y/b (табл. II.3 приложения II).

Важное свойство плоской задачи в том, что составляющие напряжений  и _y в рассматриваемой плоскости z0y не зависят от коэффициента поперечного расширения ₀, как в случае пространственной задачи.

З

dP

адача может быть решена и для случая погонной нагрузки, любым образом распределенной по полосе шириной b. При этом элементарную нагрузку dP рассматривают как сосредоточенную силу (рис.3.15).

Рис.3.15. Произвольное распределение

нагрузки по ширине полосы b

Если нагрузка распространяется от точки A(=₂) до точки B(=₁), то, суммируя напряжения от ее отдельных элементов, получим выражения для напряжений в любой точке массива от действия сплошной полосообразной нагрузки.

(3.29)

3.4.1. Равномерно распределенная нагрузка

При равномерно распределенной нагрузке интегрируют вышеприведенные выражения при P_y = P = const. В этом случае главными направлениями, т.е. направлениями, в которых действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, будут направления, расположенные по биссектрисе "углов видимости" и им перпендикулярные (рис.3.16). Углом видимости  называют угол, образованный прямыми, соединяющими рассматриваемую точку М с краями полосной нагрузки.

Значения главных напряжений получим из выражений (3.27), полагая в них =0:

. (3.30)

Эти формулы часто используют при оценке напряженного состояния (особенно предельного) в основаниях сооружений.

На величинах главных напряжений как полуосях можно построить эллипсы напряжений, наглядно характеризующие напряженное состояние грунта под равномерно распределенной нагрузкой, приложенной по полосе. Распределение (расположение) эллипсов напряжений при действии местной равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи показано на рис.3.17.

Р ис.3.17. Эллипсы напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

По формулам (3.28) можно определить _z, _y и _yz во всех точках сечения, перпендикулярного продольной оси нагрузки. Если соединить точки с одинаковыми значениями каждой из этих величин, то получим линии равных напряжений. На рис.3.18 изображены линии одинаковых вертикальных напряжений _z, называемые изобарами, горизонтальных напряжений _y, называемые распорами, и касательных напряжений _zx, называемые сдвигами.

Эти кривые были построены Д.Е.Польшиным методами теории упругости для нагрузки, равномерно распределенной по полосе шириной b, бесконечно простирающейся в направлении, перпендикулярном чертежу. Кривые показывают, что влияние сжимающих напряжений _z интенсивностью 0,1 внешней нагрузки Р сказывается на глубине около 6b, тогда как горизонтальные напряжения _y и касательные  распространяются при той же интенсивности 0,1Р на значительно меньшую глубину (1,5 - 2,0)b. Аналогичные очертания будут иметь криволинейные поверхности равных напряжений для случая пространственной задачи.

Рис.3.18. Линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве:

а – для _z (изобары); б – для _y (распор); в – для  (сдвига)

В лияние ширины загруженной полосы сказывается на глубине распространения напряжений. Например, для фундамента шириной 1 м, передающего на основание нагрузку интенсивностью Р, напряжение 0,1Р будет на глубине 6 м от подошвы, а для фундамента шириной 2 м, при той же интенсивности нагрузки, – на глубине 12 м (рис.3.19). При наличии в подстилающих слоях более слабых грунтов это может существенно повлиять на деформацию сооружения.

3.4.2. Треугольная нагрузка

В практике часто встречаются случаи распределения нагрузки по треугольнику. В этом случае вертикальные напряжения определяются по формуле

, (3.31)

г де  и ^/ – соответственно углы видимости и наклона линии к вертикали (рис.3.21).

Рис.3.21. Эпюры распределения сжимающих напряжений по вертикальным сечениям массива грунта при действии треугольной нагрузки

В таблице II.4 приложения II приведены зависимости коэффициента К^|_z в зависимости от z/b и y/b (рис.3.21) для вычисления _z по формуле:

_z = К^|_z  Р.

3.5. Действие любой нагрузки, меняющейся по закону прямой

При возведении дорожного полотна, дамб, перемычек и других земляных сооружений нагрузки от насыпей меняются в поперечном сечении по закону прямой (по прямоугольному и равностороннему треугольникам, трапециям). В этом случае напряжения в массиве определяются по формуле

_z = JP, (3.32)

где J – функция относительных величин ((a/z), (b/z)), определяемая по номограмме рис.3.22, J = f(a/z, b/z); a и b – длина соответственно треугольной и прямоугольной эпюр нагрузки; z – глубина рассматриваемой точки. Значение J определяется как алгебраическая сумма коэффициентов, соответствующих нагрузке слева и справа от вертикали, проходящей через рассматриваемую точку.

Р ис.3.22. Номограмма для определения сжимающих напряжений от нагрузки, меняющейся по закону прямой

Рис.3.23. Схема нагрузок к примеру пользования номограммой рис.3.22

Напряжения в точке М определяем по формуле

_zm = (J_л + J_n)P, (3.33)

где J_л и J_n – соответствующие функции относительных величин (a/z и b/z), определяемых по номограмме рис.3.22 (пример 4).