Средняя геометрическая

Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая: невзвешенная:

х =.

взвешенная:

х =

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая

В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

невзвешенная: x  =.

взвешенная: x  =.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации. В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

5.4. Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными характеристиками являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Определим моду и медиану по несгруппированным данным. Предположим, что 7 сотрудников отдела имеют следующий стаж работы (лет):

5 2 4 3 4 2 2.

Так как чаще всего встречается стаж 2 года, то он и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование.

2 2 2 3 4 4 5.

Центральным в этом ряду является стаж 3 года, следовательно, данный стаж и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднороднойсовокупности. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных или минимальных значений.

Допустим, нам необходимо дать обобщающую характеристику прибыли 10 малых предприятий отрасли, зарегистрированных в некотором регионе, из которых 9 имеют прибыль в интервале от 10 до 25 тыс. руб., а прибыль последнего за рассматриваемый период составила 1000 тыс. руб.:

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Прибыль, тыс. руб.	10	10	13	15	15	17	20	22	25	1000

Рассчитаем среднюю прибыль = 114,7 тыс. руб., что не только почти в 9 раз меньше прибыли 10-го предприятия, но и имеет мало общего с финансовыми результатами деятельности остальной части предприятий. Медиана же, равная 16 тыс. руб. [(15+17)/2], позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности малых предприятий.

Определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий	f нак
210	3	3
211	18	21
212	25	46
213	31	77
214	35	112
215	8	120
Итого	120

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда — наибольшую частоту (35 предприятий) имеет цена 214 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

где n — объем совокупности.

В нашем случае N_me = (120 + 1)/ 2 = 60,5.

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 60-м и 61-м предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их также нет ни во второй группе (3 + 18 = 21),ни в третьей группе (3 + 18 + 25 = 46). Следовательно, 60-е и 61-е предприятия находятся в четвертой группе (3 + 18 + 25 + 31 = 77), а значит, медианой является цена 213 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

где х_o — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); h — величина модального интервала; — частота модального интервала;— частота интервала, предшествующего модальному; — частота интервала, следующего за модальным.

где х_о — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); h — величина медианного интервала; — накопленная частота интервала, предшествующего медианному;— частота медианного интервала.

Пример 6. Определить моду (M_о) и медиану (М_е).

Распределение населения РФ по уровню среднедушевых денежных доходов в 2001 г.

Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), руб.	Численность населения, млн чел.
До 1000	17,2
1000-2000	44,8
2000-3000	33,1
3000-4000	19,8
4000 и более	29,7
Итого	144,6

Интервал с границами 1000—2000 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Ширина данного интервала составляет 1000 руб. Используя формулу, определим моду:

=1702,3 руб.

Для определения медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае — 72,3):

Интервал	Накопленная частота, млн чел.
До 1000	17,2
1000-2000	62,0
2000-3000	95,1

Таким образом, медианным является интервал с границами 2000—3000. Тогда медиана равна:

=2311,2 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М_о< М_е< х — имеет место правосторонняя асимметрия, при х < М_е < М_о следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 1700 руб. в месяц. В то же время более половины населения располагает доходом свыше 2311 руб. при среднем уровне 2500 руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов.