Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и используемыми при ее расчете.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты (i-й группы):

в примере расчета средней себестоимости одного изделия:

234,53161 = 22067+ 27035 +23059.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

4. Если все варианты значений признака изменить в А раз, то средняя также изменится в А раз:

Предположим, что себестоимость на каждом предприятии возрастет в 1,5 раза. Тогда и средняя себестоимость также увеличится в 1,5 раза:

5.3. Другие виды средних показателей

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная

Данная средняя используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

Пример 4. В табл. представлены результаты биржевых торгов по акциям эмитента. Требуется определить средний курс акций.

Результаты биржевых торгов по акциям эмитента

Торговая площадка	Средний курс акций, руб.	Объем сделок, млн. руб.
1	461	35,6
2	455	12,8
3	459	29,3
итого		77,7

Средний курс акций в целом по нескольким сделкам, торговым площадкам и т.п. может быть определен на основе следующего исходного соотношения:

ИСС = Общий объем сделок(млн руб.)

Общее количество проданных акций (млн шт.)

Общий объем сделок мы получим простым суммированием объемов сделок по торговым площадкам. Данные же о количестве проданных акций отсутствуют, но их можно получить, разделив объем сделок по каждой торговой площадке на курс. С учетом этого определим искомую среднюю:

Таким образом, общее количество акций, проданных на всех трех торговых площадках, составило 169 тыс., а средний курс акций — 459,8 руб.

Расчет средней гармонической взвешенной проводится по формуле

где w_i  =  x_i    f_i.

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса wза ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная

Эта форма средней имеет следующий вид:

Пример 5. Упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 20 мин, второй — 30 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ на основе средней арифметической невзвешенной, т.е. (20 + 30) : 2 = 25 мин.

Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 3 заказа (60 : 20), второй — 2 заказа (60 : 30). что в сумме составляет 5 заказов. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число заказов, обработанных обоими работниками за час, в данном случае несколько уменьшится:

60/25 + 60/25 = 4,8 заказа. 25*5 = 125 мин

Решим через ИСС. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:

24 мин.

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится:

60/24 + 60/24 = = 5 заказов.

Средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения w_iдля единиц совокупности равны (в примере 5 рабочий день у сотрудников одинаковый).