5. Свойства операций и законы алгебры логики
=1
=0
-
3,
4, 5, 6 – законы исключения констант
А0=А
А1=А
А1=1
А0=0
------------------------------------------------------------
А
7, 8 – законы идемпотентности
А=ААА=А
-----------------------------------------------------------
А
=1
9 – закон исключенного третьего
-----------------------------------------------------------
А
=0
10
– закон противоречия
-
11. 11
– закон двойного отрицания
-
12,
13 – коммутативный (переместительный)
закон
АВ=ВА
АВ=ВА
----------------------------------------------------------
ААВ=А
14, 15, 16,17 – законы поглощения
А(АВ)=АА(
В)=АВ
А(
АВ)=АВ
---------------------------------------------------------
18,
19 – закон де Моргана (закон общей
инверсии)
(
)=АВ(
)
=
--------------------------------------------------------
20,
21 – ассоциативный
(сочетательный)
закон
(АВ)С=A(BС)=ABС
(АВ)С=A(BС)=ABС
---------------------------------------------------------
22, 23 – дистрибутивный (распределительный) закон
(АВ)С=AСВС(АВ)С=(AС)(ВС)
---------------------------------------------------------
24, 25 – закон исключения (склеивания)
(AВ)(А
)=А(AВ)(А
)=А
----------------------------------------------------------
АВ=
ВАВ= (АВ) (
)=
(
В)
(А
)
А
ВАВ=
АВ
А
ВА
=АВ
6. Примеры упрощения логических выражений
Упростим следующие логические выражения (в фигурных скобках указаны номера законов, которые применялись для упрощения выражений. Следует учитывать, что упрощение может быть выполнено и другим способом, так как оно является творческим, а не алгоритмическим процессом):
7. Логические схемы
Работа современных вычислительных машин по своей сути сводится к обработке последовательностей нулей и единиц, которыми закодирована различная информация (числовая, текстовая, графическая, звуковая) и пересылке этой информации.
Обработку двоичной информации производит арифметико-логическое устройство (АЛУ), являющееся частью процессора. Состоит оно из логических элементов.
Логические элементы – это электронные схемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы, представляющие цифры 0 или 1, и реализующие различные логические операции.
Каждой элементарной логической операции И, ИЛИ, НЕ можно поставить в соответствие элементарную логическую схему, или вентиль. На входе и выходе вентиля мы имеем физические сигналы двух видов, что можно ассоциировать с логическим 0 и логической 1.
Символическое обозначение вентилей:
Элемент ”НЕ” (инвертор)
F=A
F A
Элемент “ИЛИ”
А F
F=AB
В 1
Элемент “И”
А
F=AB
В 
8. Этапы построения логических схем
Построение логических схем из логических элементов состоит в следующем:
1. Составляется таблица истинности для функции, которую необходимо реализовать;
2. По таблице истинности составляется логическое выражение;
3. По законам алгебры логики производится упрощение логического выражения;
4. По логическому выражению с использованием логических элементов строится логическая схема.
Проследим все эти этапы на примере построения логических функций для одного элемента многоразрядного сумматора – устройства для сложения двух многоразрядных двоичных чисел.
Один элемент сумматора отвечает за сложение двоичных цифр из одного и того же разряда слагаемых и имеет 3 входа (входы А и В – значения двух суммируемых разрядов, вход Р – значение переноса из младшего разряда) и 2 выхода (выход R – младшая цифра результата суммирования и выход Р1 – значение переноса в старший разряд).
Выполним первый этап, то есть составим таблицу истинности:
-
А
В
Р
R
Р1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
В
ыполним
второй этап, то есть составим логическое
выражение по таблице истинности:
Выполним третий этап, то есть упростим получившиеся на втором этапе логические выражения:
Выполним четвертый этап, то есть построим логическую схему для R(А, В, Р):
А
R
Р
Задание 1. Самостоятельно постройте схему для Р1 (А, В, Р).
Задание 2. Обозначим S (A, B, P) логическую схему для одного разряда сумматора, имеющую на выходе значение функций R и P1. Изображая эту схему как один элемент с тремя входами и двумя выходами, нарисуйте схему для четырехразрядного сумматора. В первом разряде на входе в S (A, B, P) вместо Р можно подавать константу 0.
Рассмотрим несколько примеров построения логических схем.
З
адание.
Построить логическую схему по следующему
выражению:
x1x2
x1 & x1
1
x2 F
