Первый способ построения таблицы истинности

Формула содержит 3 различные переменные  А, В, С. Составим таблицу всевозможных значений этих переменных. Их будет 8 (определяется как количество сочетаний из 2 (1 или 0, истина или ложь) по 3 (3 переменных  А, В, С)), то есть 2³=8.

А	В	С	СВ	(СВ)В	АВ	((СВ)В) (АВ)	((СВ)В) (АВ)В
0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Ответ: получилась тождественно-истинная формула.

4. Построение логических выражений по заданной таблице истинности

Задание. Дана таблица истинности. Построить логическое (булево) выражение для F.

А	В	С	F
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

Правила построения логического выражения:

Первый способ.

1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением функции построить минтерм. (Минтермом называется терм-произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз – либо с отрицанием, либо без него). Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входят в минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 – без отрицания.

2. Объединить все минтермы операцией дизъюнкцией, что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.

Все вышесказанное можно продемонстрировать следующим образом:

А	В	С	F	минтермы
0	0	0	0
0	0	1	1	А В С
0	1	0	1	А В С
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1	А В С
1	1	0	0
1	1	1	0

Объединяя термы получим следующее логическое выражение дляF:

Вся сумма соответствует совокупности из трех строк. Для остальных пяти наборов значений входных переменных это выражение равно нулю.

Таким образом, мы построили логическое выражение по таблице истинности. В данном случае оно называется стандартной суммой произведений (канонической суммой минтермов).

Полученное таким образом выражение можно упростить, пользуясь законами алгебры логики.

Второй способ.

1. Выделить в таблице истинности все наборы переменных, на которых функция принимает нулевые значения.

2. Для каждого выбранного набора записать элементарные дизъюнкции (например, АВС), причем переменные, имеющие единичные значения в строке, входят в элементарную дизъюнкцию с отрицанием, а переменные со значением 0 – без отрицания.

3. Соединить элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.

Все вышесказанное можно продемонстрировать следующим образом:

А	В	С	F	Элементарные дизъюнкции
0	0	0	0	АВС
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0	А ВС
1	0	0	0	АВС
1	0	1	1
1	1	0	0	А ВС
1	1	1	0	А ВС

Объединяя элементарные дизъюнкции операцией конъюнкцией, получим следующее логическое выражение для F:

Таким образом, мы построили логическое выражение по таблице истинности вторым способом. Его можно упростить, пользуясь законами алгебры логики.

Замечание. В рассмотренном примере построение логического выражения первым способом рациональнее, так как количество термов  три. Во втором способе количество элементарных дизъюнкций – 5, что, возможно, усложнит упрощение логического выражения.