2.3. Операция логического сложения (дизъюнкция)

Эта операция также бинарная. Соответствует союзу «или». Обозначается АВ. Она определяется следующей таблицей истинности:

Дизъюнкция (логическая сумма) АВложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказыванияАиВ. А	В	АВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример дизъюнкции: «В отпуске мы будем посещать театры, или выставки, или музеи».

2.4. Операция "исключающее или" (строгая дизъюнкция)

Бинарная. Соответствует словосочетанию «или…, или …» («либо …, либо …»). Обозначается АВ. Таблица истинности для этой операции:

А	В	АВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Пример строгой дизъюнкции: «Саша либо дома, либо вышел погулять с собакой».

2.5. Операция "импликация"

Бинарная. Определяется словосочетанием «если …, то …». Обозначается АВ. Это одна из самых важных операций логики высказываний. Таблица истинности:

Импликация АВ истинна всегда, за исключением слу-чая, когда А  истина, а В  ложь. А	В	АВ
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Пример импликации: «Если завтра будет тепло, то мы пойдем гулять».

2.6. Операция "эквиваленция"

Бинарная. Обозначается АВ или АВ (читается А эквивалентно В). Определяется словосочетанием: «Тогда и только тогда, когда …». Таблица истинности выглядит следующим образом:

Высказывание АВ истинно в том и только в том случае, когда А  истинно и В – истинно или А – ложно и В  ложно. А	В	АВ
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример эквиваленции: «Я заведу себе щенка тогда и только тогда, когда хорошо изучу, как с ним надо обращаться».

3. Логические выражения. Построение таблиц истинности

Используя основные логические операции, можно построить более сложные высказывания (логические выражения), например:

Скобки в логических выражениях указывают последовательность выполнения операций. Если нет скобок, то приоритеты выполнения логических операций следующие:

1. операция отрицания (инверсия)

2. логическое умножение (конъюнкция)

3. логическое сложение (дизъюнкция)

4. исключающее «или»

5. импликация

6. эквиваленция

Например, в следующем логическом выражении порядок выполнения действий указан цифрами над знаками логических операций:

7 8 5 4 6 1 3 2

Для каждого логического выражения может быть построена таблица истинности. Порядок её построения рассмотрим на конкретном примере:

Пусть задано логическое выражение

1. Сначала составим таблицу всевозможных значений переменных А и В, входящих в данную формулу.

2. Затем проведем анализ строения этой формулы, то есть, определим порядок выполнения логических операций и запишем каждую операцию в отдельный столбец таблицы.

В результате получится следующая таблица:

0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1

Замечание. Значения, стоящие в первом столбце, совпадают со значениями, стоящими в последнем. Такие логические выражения называют равносильными. Для обозначения равносильности пользуются обычно знаком равенства, то есть

Рассмотрим пример, в котором проверяется равносильность высказываний с помощью таблиц истинности.

Проверим равносильность

Построим таблицу истинности:

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 1 0 1

Для наглядности значения равносильных логических выражений заключены в овал.

Равносильные выражения взаимозаменяемы.

Кроме понятия равносильности, рассмотрим такие понятия как совместимость, несовместимость, противоположность, логическое следование.

Определение. Два логических выражения называют совместимыми, если хотя бы при одной оценке переменных они одновременно являются истинными. В противном случае они несовместимые.

Определение. Два логических выражения называют противоположными, если при любой оценке переменных они принимают противоположные значения, и в этом случае каждая из формул является отрицанием другой.

Определение. Логическое выражение В называется логическим следствием логического выражения А, если при любых оценках переменных импликация АВ принимает только истинные значения.

Все формулы (логические выражения) логики высказываний можно разделить на три класса:

 нейтральные, или выполнимые – принимающие как истинные, так и ложные значения;

 тождественно-истинные формулы (или тавтологии) – принимающие истинные значения при любых оценках переменных;

 тождественно-ложные формулы – принимающие ложные значения при любых оценках переменных.

Существуют два способа определения истинного значения формулы. Первый  с помощью таблиц истинности, второй – путем приведения формул к нормальной форме.

Формула имеетнормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквиваленции, импликации, исключающего «или», двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных. Например,

Замечание. Табличный способ определения истинного значения формул имеет ограниченное применение, поскольку при увеличении количества переменных приходится рассматривать слишком много вариантов.

Тем не менее, начнем с первого способа, то есть будем определять истинность значения формулы с помощью таблицы истинности. Причем, строить таблицу истинности тоже можно несколькими способами. Рассмотрим три способа. Решим один и тот же пример двумя способами. Решения будут отличаться способами построения таблиц. Итак, требуется определить значение следующей формулы: