1. Основные понятия

Алгебра логики (её называют также булевой алгеброй в честь английского математика Дж. Буля, основоположника математической логики как самостоятельной математической дисциплины) – это один из сложных разделов информатики.

Математическая (символическая) логика находит применение во многих областях, в частности, в кибернетике, теории ЭВМ, теории алгоритмов, электротехнике.

В логических задачах исходными данными являются не только числа, но и сложные, иногда весьма запутанные высказывания. Во многих случаях для решения логических задач необходим компьютер. Умение грамотно использовать логические операции повышает эффективность программирования.

Основным разделом алгебры логики, является логика высказываний.

Определение. Высказыванием называется повествовательное предложение, которое имеет определенное значение истинности: истина или ложь.

Замечание. Вопросительные и побудительные предложения не являются высказываниями, так как в них ничего не утверждается и не отрицается.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Примеры простых высказываний: «Число 100 больше 10», «Тонна больше центнера».

Сложные высказывания состоят из простых.

Примеры сложных высказываний: «Если идет дождь, то солнце не светит», «Если ветер дует, то нет дождя».

Примеры предложений не являющихся высказываниями: «Кто не хочет быть счастливым?»; «Не пейте сырую воду!».

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

Обозначения логических операций:

1) ,-  логическое «не»;

2) , , , , и, and  логическое «и»;

3) , , или, or  логическое «или»;

4) ,   логическое «исключающее или»;

5) ,   импликация;

6) , ,   двойная импликация или эквиваленция.

2. Определения логических операций

2.1. Операция "логическое отрицание" (логическое «не» или инверсия)

Соответствует словосочетаниям «неверно, что …»; «не». Эта операция унарная, то есть выполняется над одним операндом (или над одним высказыванием). Обозначим его А. Тогда суть операции отрицания:

Обозначим 1 – значение истинного высказывания, 0 – значение ложного высказывания. Построим таблицу истинности, в которой будут рассмотрены всевозможные значения высказывания А и соответствующие им значения отрицания А.

Определение. Таблицы, отображающие соответствие всех возможных комбинаций значений двоичных аргументов значениям логической функции называют таблицами истинности.

А	А
0	1
1	0

Пример инверсии: «Завтра я не приду к тебе».

2.2. Операция логического умножения (конъюнкция)

Эта операция бинарная, то есть выполняется над двумя операндами (или над двумя высказываниями). Соответствует союзу «и». Обозначим первое высказывание  А, второе высказывание – В. Построим таблицу истинности, в которой укажем всевозможные значения А и В, а также соответствующие им значения операции конъюнкции. Конъюнкцию обозначим АВ.

Высказывание АВ истинно в том и только в том случае, когда оба высказывания, А и В, являются истинными. А	В	АВ
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример конъюнкции: «Светит солнце, и поют птицы».