1.4. Центральное сжатие

Сжатые элементы конструкций имеют, как правило, длину намного большую, чем размеры поперечного сечения. Они разрушаются не как малые стандартные образцы при достижении древесиной предела прочности на сжатие, а в результате потери устойчивости, которая характеризуется сменой прямолинейной формы равновесия на криволинейную и происходит раньше, чем напряжения сжатия достигнут предела прочности. Это называется явлением продольного изгиба и учитывается введением в формулу коэффициента продольного изгиба .

Коэффициент продольного изгиба представляет собой отношение критического напряжения (напряжения, при котором стержень начинает терять устойчивость, т.е. менять прямолинейную форму равновесия на криволинейную) к пределу прочности древесины на сжатие вдоль волокон. Коэффициентв упругой стадии работы древесины определяется по формуле Эйлера

, (1.4)

где Е– модуль упругости древесины вдоль волокон;– гибкость элемента.

Коэффициент можно рассматривать как поправочный коэффициент, на который надо умножить предел прочности, чтобы получить критическое напряжение упругого стержня:.

Коэффициент меньше (или равен) единицы, что свидетельствует о неполном использовании прочностных свойств материала.

Коэффициент зависит от гибкости стержня.

При работе элемента до условного предела пропорциональности отношение модуля упругости Е к пределу прочностиможно считать постоянным.

Подставляя данное значение в формулу (1.4) при , получим

. (1.5)

При работе элементов за пределами пропорциональности при (модуль упругости становится переменной величиной) коэффициентопределяется по эмпирической формуле Кочеткова:

. (1.6)

Гибкость элементов определяется в зависимости от их расчетной длины и радиуса инерции поперечного сечения по формуле

, (1.7)

где l_о –расчетная длина элемента;r_min – радиус инерции поперечного сечения.

Расчетная длина элементов зависит от способа закрепления его концов: l_о = µl, гдеl – геометрическая длина элемента; значения коэффициента µ приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Расчетные длины сжатых деревянных элементов

Значения µ для древесины несколько больше, чем теоретические, так как вследствие поперечного обжатия или усушки древесины, полное защемление концов элемента затруднительно.

Радиус инерции поперечного сечения определяется по формуле

. (1.8)

Для элементов прямоугольного сечения ;; для элементов круглого сечения.

С учетом вышеизложенного расчет центрально-сжатых элементов производится по формулам:

- на прочность

; (1.9)

- на устойчивость

, (1.10)

где – расчетное сжимающее усилие;– расчетное сопротивление древесины сжатой вдоль волокон;F_нт – площадь нетто поперечного сечения;F_расч – расчетная площадь поперечного сечения элемента;– коэффициент продольного изгиба.

Расчетная площадь поперечного сечения элементов определяется по формулам табл. 1.2. При несимметричных ослаблениях, выходящих на кромку, элементы рассчитываются как внецентренно-сжатые.

Таблица 1.2

Расчетная площадь сжатых элементов с учетом различных

видов ослаблений

Прочность древесины на сжатие вдоль волокон наиболее характерное и важное свойство древесины. В связи с более надежной работой древесины на сжатие при проектировании сжатых элементов применяются пиломатериалы 2-го сорта.

На центральное сжатие работают стойки (колонны), верхние пояса ферм (кроме сегментных) при узловой нагрузке, сжатые раскосы и другие деревянные элементы.

Подобрать сечение сжатого элемента по формуле (1.10) непосредственно нельзя, так как коэффициент продольного изгиба зависит от размеров сечения. На практике подбирают сечение, предварительно приняв, или применяют способ Кочеткова.

Суть способа Кочеткова:

- предполагают, что гибкость сжатого стержня больше 70;

- определяют требуемую площадь поперечного сечения по приближенной формуле

, (1.11)

где К– отношениедля прямоугольного сечения, для круглого и квадратного сечений;

- задаются шириной сечения по сортаменту и находят требуемую высоту сечения с учетом принятого К, корректируют высоту сечения с учетом сортамента;

- находят фактическую гибкость стержня: если она больше 70, то расчет на этом заканчивается, если меньше, то сечение проверяется по основной формуле (1.10) на устойчивость; в зависимости от результатов проверки, сечение либо корректируется, либо оставляется прежним.

Для стоек и колонн необходимо дополнительно проверять гибкость из плоскости, которая не должна превышать предельного значения 120.

Пример 1.3. Определить несущую способность центрально-сжатой деревянной стойки.

Исходные данные. Сечение стойки 200х200 мм, ослаблено симметричными врезками глубиной 20 мм, выходящими на кромки (рис. 1.3). Высота стойки 4 м. Закрепление концов стойки: шарнирное вверху и защемление на опоре. Условия эксплуатации – В1. Порода древесины – ель 2-го сорта.

Рис.1.3. К расчету стойки на устойчивость:

а – расчетная схема стойки; б – фрагмент стойки с ослаблениями

Порядок расчета. Несущая способность элемента определяется по формуле, полученной из основной формулы расчета центрально-сжатых элементов на устойчивость (формула (4) [2]):

N_c= φ F_расч R_с m_в.

Расчетная площадь сечения F_{расч =} F_нт = 16∙20 =320 см².

Коэффициент m_в = 0,9 (по табл. 5[2]).

Коэффициент продольного изгиба определяется в зависимости от величины гибкости элемента, которая в нашем случае

где l_o – расчетная длина элемента, l_o = 400х0,8 = 320 см (п. 4.5 [2]).

При гибкости стойки , коэффициент продольного изгиба определяется по формуле (7) [2]:

Таким образом, несущая способность элемента

N_c= 0,612∙ 320 ∙1,5∙0,9 = 264 кН.

Пример 1.4. Подобрать сечение центрально-сжатого деревянного элемента (рис.1.4).

Исходные данные. Условия эксплуатации – В2. Материал элемента – ель 2-го сорта. Расчетная сжимающая сила N_c =150 кН. Закрепление концов стержня – шарнирное. Длина 4,5 м.

Рис.1.4. К подбору сечения стойки:

а – расчетная схема стойки; б – расчетные размеры стойки

Порядок расчета. Решение задач такого типа целесообразно выполнять по методу Кочеткова, который позволяет определить требуемую площадь поперечного сечения элемента, задаваясь величиной его гибкости.

Расчет ведется в следующей последовательности:

1. Находим требуемую площадь поперечного сечения элемента по формуле, выведенной из условия устойчивости (6) [2]:

При К = 1 и m_в=0,85 (табл. 5 [2]) требуемая площадь поперечного сечения стойки

2. Определяем требуемый минимальный радиус инерции сечения из плоскости при величине предельной гибкости [λ] =120:

Отсюда, требуемая ширина сечения должна быть не менее

Принимаем b = 175 мм, тогда требуемая высота сечения

3. По сортаменту (см. приложение 2) принимаем сечение с размерами 175х200 мм площадью F = 350 см², что больше требуемой по расчету – 332 см². Подобрав сечение

сжатого элемента, следует проверить его фактическую гибкость:

Фактическая гибкость стойки получилась больше 70, что и предполагалось в начале расчета, следовательно, дополнительной проверки прочности сечения не требуется.

Пример 1.5. Проверить прочность и устойчивость деревянной стойки (рис.1.5).

Исходные данные. Высота стойки 5 м. Сечение 150х175 мм. Расчетное усилие

N_с= 100 кН. Условия эксплуатации – В3. Материал стойки – дуб 2-го сорта.

Сечение ослаблено врезкой шириной 40 мм, не выходящей на кромку.

Закрепление концов стойки:

1-й вариант – вверху и внизу – шарниры;

2-й вариант – внизу ­– защемление, вверху – свободный конец.

Рис.1.5. К подбору сечения стойки на прочность и устойчивость:

а – расчетная схема стойки; б – расчетные сечения стойки

Порядок расчета:

1. Выполняем проверку прочности центрально­-сжатого элемента по формуле

кН/см² < R_с m_в m_п =1,76 кН/см² ,

где F_нт = F_бр–F_осл = 15∙17,5 – 4∙15 = 202,5 см²; R_с m_в m_п = 1,5∙ 0,9∙1,3= 1,76 кН/см².

Условие выполняется. Прочность обеспечена.

2. Проверяем устойчивость в плоскости наименьшей жесткости по формуле

.

Расчетная площадь поперечного сечения по п. 4.2 [2]

, так как .

А. Проверяем устойчивость стойки при шарнирно-закрепленных концах.

Расчетная длина l _о = l∙µ = 500 см, так как µ = 1 (п. 4.21[2]).

Отсюда, гибкость элемента

При гибкости больше 70 коэффициент продольного изгиба определяется по формуле

φ

Напряжения в стойке

кН/см² < =1,76 кН/см².

Проверяем предельную гибкость из плоскости

.

Устойчивость стойки обеспечена.

Б. Проверяем устойчивость стойки при защемлении только нижнего конца.

Расчетная длина стойки в этом случае l _о = l∙µ = 500∙2,2 = 1100 см, так как µ= 2,2 (п. 4.21[2]). Гибкость стойки

.

Гибкость стойки при таком закреплении концов превышает предельную, поэтому для нормальной эксплуатации такой стойки требуется изменить характер закрепления концов или увеличить сечение стойки.