Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Численные методы решения задач линейной алгебры

А для системы (2.28) итерационный процесс сходится, если

элементы матрицы А удовлетворяют условию

т.е. модули диагональных элементов каждой строки больше суммы модулей всех остальных элементов.

nПример 2.4. Показать, что для системы (2.36) процесс итерации сходится к точному решению.

Решение. Матрица приведенной к нормальному виду системы (2.37) равна:

Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы a:

α 1 = max{0,625;0,5;0,5}= 0,625;

α 2 = max{0,583;0,375;0,667}= 0,667;

α 3 = 0,1252 + 0,52 + 0,3332 + 0,1672 + 0,252 + 0,252 » 0,728.

Достаточное условие (2.42) сходимости итерационного процесса выполнено.

Таким образом, теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты заданной системы уравнений AX = B . Однако, если det A¹0, то с помощью линейного комбинирования уравнений исходной системы, последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой, такой, что условия сходимости будут выполнены.

Практически эти преобразования можно выполнить следующим образом:

63

Численные методы решения задач линейной алгебры

из заданной системы выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов. Каждое выделенное уравнение записывают так в строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.

Из оставшихся уравнений составляют линейно-независимые комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы, и все свободные строки оказались заполненными.

nПример 2.5. Привести систему к виду, годному для применения итерационных методов решения:

1) В уравнении (В) коэффициент при х2 по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (В) за 2-е уравнение новой системы:

2,5x1 + 7x2 - x3 = 3,5;

2) Из оставшихся неиспользованных уравнений системы составляем линейно независимые между собой комбинации. За 1-е уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2С) + (А):

10х1 - х2 + 2х3 = 0;

3) За 3-е уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А) – (В), т.е.

–0,5х1 – х2 – 7х3 = 2,5;

Витоге получаем преобразованную систему линейных уравнений,

эквивалентную исходной,

ì10x1 - x2 + 2x3 = 0, ïí2,5x1 + 7x2 - x3 = 3,5, ïî0,5x1 + x2 + 7x3 = -2,5

64

Численные методы решения задач линейной алгебры

и удовлетворяющую условиям сходимости итерационного процесса

(2.43):

10 > −1 + 2;

7 > 2,5 + −1;

7 > 0,5 + 1.

Не существует общей теории, позволяющей сравнить скорость сходимости рассмотренных выше методов. Из наиболее важных результатов следует отметить следующие.

1.Условия (2.42), (2.43) являются достаточными условиями для сходимости итерационного процесса, но они не являются необходимыми. Иными словами, диагональное преобладание не требуется для сходимости как метода Якоби, так и метода Гаусса – Зейделя.

2.Матрица А должна быть “почти диагональной” для сходимости метода Якоби, однако это не совсем то же самое, что диагональное преобладание.

3. Столбцовое диагональное преобладание aii > å a ji также

j¹i

достаточно для сходимости. Метод Гаусса – Зейделя будет сходиться к точному решению, если матрица А “почти нижняя треугольная”[30].

4.Если матрица А симметричная положительно определенная, то метод Гаусса – Зейделя сходится в 2 раза быстрее метода Якоби. В других случаях может быть и наоборот. Существуют примеры, для которых метод Якоби сходится, а метод Гаусса – Зейделя расходится.

65

Численные методы решения задач линейной алгебры

2.3.4.Оценка погрешности приближенного решения

иподсчет числа итераций

b – та же норма вектора b ,

k – число итераций, необходимое для достижения заданной точности.

Используя неравенство (2.44) , можно оценить погрешность

а число итераций (приближений), дающих ответ с заданной точностью e, можно определить с помощью соотношения

nПример 2.6. Для системы уравнений (2.36) (см. пример 2.5) оценить погрешность 4-го приближения и определить число итераций , дающее ответ с точностью 0,001.

66

Численные методы решения задач линейной алгебры

Решение:

X (4) - X (3) = max {0,016, 0,054, 0,066}=0,066;

a1 = 0,625 (см. пример 2.4).

Þ (k +1) lg 0,625 £ lg 0,00025 Þ (k +1)×(-0,204) £ (-3,6) Þ k ³16,6 Þ k » 17.

Фактическое число итераций для достижения заданной точности равно 8 (пример 2.2), то есть, теоретическая оценка оказывается завышенной.

2.4. Некоторые рекомендации по использованию методов

1) Прямые методы имеют то преимущество, что они конечны, и теоретически с их помощью можно решить любую невырожденную систему уравнений. Но прямые методы решения СЛАУ, в частности, метод Гаусса для систем общего вида, не рекомендуется применять при очень больших n ( n >102 ) из-за нарастающих ошибок округления, связанных с выполнением большого числа арифметических операций. В итерационных методах ошибки округления, как правило, меньше.

67

Численные методы решения задач линейной алгебры

2) Итерационные методы следует использовать только при определенных обстоятельствах, поэтому очертим основной круг идей и дадим рекомендации относительно того, когда они могут быть уместны [26, 30]:

∙Когда итерационный метод сходится, время вычислений пропорционально n2 на каждую итерацию, в то время как для метода Гаусса время вычислений пропорционально n3 . Если для решения системы требуется менее n итераций, то общие затраты машинного времени будут меньше.

∙Итерационные методы наиболее рациональны для разреженных матриц, имеющих большой порядок (n), поскольку они требуют гораздо меньше оперативной памяти, чем прямые методы ( n2 машинных слов – для метода Гаусса и pn – для итерационного, где p – число ненулевых элементов в одной строке).

∙Чтобы итерационный метод давал уменьшение числа арифметических операций для разреженной матрицы общего вида, необходимо выполнение условия

k< n3p , где k – число итераций;

адля ленточной матрицы с шириной ленты m:2

k < m2 .

∙Итерационные методы для плохо обусловленных задач нисколько не лучше прямых методов и дают такую же чепуху, как и прямые.

Методы Якоби и Гаусса – Зейделя являются классическими итерационными методами, сыгравшими определенную роль в развитии вычислительной математики.

По мере увеличения размерности задач, достигающей в настоящее время десятков и сотен тысяч уравнений, появились новые итерационные методы, которые можно рассматривать как

68

Численные методы решения задач линейной алгебры

обобщение процедур методов Якоби и Гаусса – Зейделя, но с ускорением сходимости.

К ним относятся: метод последовательной верхней релаксации; метод Ричардсона, а также градиентные методы: метод сопряженных градиентов; сопряженный метод Ньютона [12, 14, 26] и др.

В последнее время в современных программных комплексах итерационные методы применяют, в основном, для уточнения решения, полученного с помощью прямых методов, т.е. комбинируя их.

2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

A X = B ,

где det A ¹ 0, B ¹ 0. Матрица А и вектор правой части B во многих случаях задаются приближенно. Причины погрешностей могут быть самыми разными – от ошибок округления при вводе чисел в машину до ошибок измерения, если система связана с обработкой экспериментальных данных. Ошибки вносит также вычислительный процесс (ошибки округления). Естественно встает вопрос, как все это влияет на точность полученного решения. Чтобы на него ответить, надо познакомиться с особой характеристикой матриц, которую называют обусловленностью

[30].

G Обусловленность характеризует устойчивость решения системы относительно исходных данных. Говорят, что задача, модель или вычисление плохо обусловлены, если они

чувствительны к ошибкам или неопределенности исходных данных.

69

Численные методы решения задач линейной алгебры

Прежде всего оговорим различие между плохо обусловленной задачей и плохо обусловленными вычислениями.

Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия,

потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильный ответ, исключая случайность. С плохо

обусловленными задачами можно столкнуться при расчетах стержневых систем методами строительной механики, например,

§при расчете рам методом перемещений, если два узла соединены очень жесткой частью конструкции;

§или при расчете конструкции методом сил, если выбрать основную систему так, что перемещение в устраняемой связи, соответствующее приложенной в ней паре нагрузок,

равно или меньше перемещений в других устраненных связях от этой же нагрузки.

Все плохо обусловленные вычисления являются результатом применения численно неустойчивых алгоритмов. Например, метод исключения Гаусса без выбора главного элемента может обладать таким недостатком.

Замечено, что матрицы со случайно сгенерированными элементами отличаются обычно хорошим поведением, а матрицы,

элементы которых получены по каким-то закономерностям,

бывают плохо обусловленными. У плохо обусловленной матрицы

обратная матрица является неустойчивой, т.е. элементы обратной

матрицы значительно изменяются при малом изменении элементов исходной матрицы. Это происходит вследствие наличия малых разностей больших величин.

nПример 2.7. Плохо обусловленная система:

70

Численные методы решения задач линейной алгебры

Решение этой системы х1=х2=х3=х4=1. Если изменить правые части на 0,1

изменится при этом и обратная матрица.

Следует отметить, что чем больше порядок системы, тем сильнее влияние небольшой погрешности коэффициентов.

Обусловленность матрицы (системы) является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее количественно. Существует несколько способов оценки обусловленности.

Например, обусловленность матрицы (системы) можно оценить с помощью величины, называемой мерой

обусловленности μ(A) по формуле

71

Численные методы решения задач линейной алгебры

Число μ(A), часто обозначаемое cond A (от английского слова conditioned-«обусловленный»), служит также коэффициентом

роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы А.

Чем больше μ(A) ,тем сильнее сказывается на решении линейной системы ошибка в исходных данных. Если число μ(A) велико, то система считается плохо обусловленной. Говорить о том, «что такое хорошо, а что такое плохо» в отрыве от контекста решаемой задачи почти бессмысленно, так как здесь могут играть роль размерность задачи, точность, с которой должно быть найдено ее решение, точность представления чисел в ЭВМ и т.п. Однако можно дать оценку снизу меры обусловленности. Число обусловленности μ(A) не может быть меньше 1. Матрица, а соответственно и система, будет хорошо обусловленной, если μ(A) стремится к единице.

И еще один способ оценки обусловленности: матрица считается плохо обусловленной, если модуль ее определителя существенно меньше какой-либо из норм матрицы.

nПример 2.8. Оценим обусловленность матриц А и В:

72