Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Численные методы оптимизации

возможность существования статически определимых и вырожденных ферм (т.е., допускает Fi = 0) и не вводится ограничений по жесткости и конструктивных, при учете которых задача оптимизации станет нелинейной.

nЗадача 8.3. Пусть требуется найти наивыгоднейшее сечение балки постоянного двутаврового сечения, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.8.6), которое удовлетворяло бы

требованиям прочности и жесткости.

Рис.8.6. К задаче 8.3

В качестве целевой функции возьмем объем балки [10]

283

Численные методы оптимизации

где: D – максимальный прогиб балки; Dn – нормируемая величина прогиба; Е – модуль упругости материала балки; J – момент инерции сечения.

Для тонкостенного двутаврового сечения с точностью до малых величин можно считать

где Fn – площади полок двутаврового сечения; Fcm=Ht – площадь стенки сечения. Толщина стенки t считается заданной.

284

Наконец, целевую функцию (8.33) также выразим через

безразмерные параметры х1 и х2. После подстановки и

преобразования получим

Итак, мы сформулировали следующую задачу нелинейного программирования в безразмерных параметрах:

минимизировать целевую функцию

Решение задачи мы получим позднее, когда рассмотрим методы решения задач нелинейного программирования.

285

Численные методы оптимизации

8.3. Задачи линейного программирования

Если говорить о математической стороне дела, то можно отметить, что наибольшее распространение получили методы линейного программирования. Это объясняется широким практическим приложением, а также доступностью и простотой использования программ для ЭВМ, реализующих эти методы. К

задачам ЛП удается свести большое количество задач управления и экономики и очень редко – задачи технического проектирования конструкций. Рассмотрим общую постановку задач ЛП, некоторые схемы типичного применения и методы их решения.

8.3.1. Общая постановка задачи ЛП

Задача линейного программирования (ЛП) формулируется следующим образом: требуется найти экстремум (min/max) линейной функции n независимых переменных (проектных параметров) x1, x2, .., xn [18, 21, 23]:

i=1

при ограничениях, наложенных на переменные в виде линейных неравенств, m>n :

Линейную функцию (8.51) – функцию цели – принято называть линейной формой задачи ЛП.

Наряду с задачей ЛП (8.51 – 8.53), называемой стандартной или естественной, существуют [17] и другие задачи ЛП, имеющие различные формы записи. Например, система неравенств (8.52) может быть смешанной, т.е. наряду с неравенствами система ограничений может содержать и равенства, или проектные

286

Численные методы оптимизации

параметры могут быть не все неотрицательны, т.е. не для всех из них выполняется условие (8.53), и наконец, в ряде случаев требуется найти максимум линейной формы, Zmax. Любая из них

может быть сведена путем несложных математических преобразований к эквивалентной ей задаче любого другого вида

[23].

8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными

Рассмотрим линейное неравенство с двумя неизвестными х1, х2

Областью решения неравенства (4) является множество точек D , удовлетворяющих этому неравенству, т.е. полуплоскость Р, ограниченная прямой L: a x1 + b x2 + c = 0

Прямая L разбивает всю плоскость на 2-е полуплоскости. Для

определения какую из двух полуплоскостей описывает неравенство (8.54), достаточно выбрать точку М 0 (х10 , х20 ) и проверить, удовлетворяют ли координаты ее неравенству (8.54).

nПример 8.1. Найти полуплоскость, определяемую неравенством

плоскость на две полуплоскости. Выбрав точку М(0,0), легко убедиться, что координаты ее не удовлетворяют исходному неравенству, и это значит, что неравенство определяет прямую и полуплоскость, расположенную «выше» этой прямой (рис.8.7).

x2

Рис.8.7. Область решения неравенства

287

Численные методы оптимизации

Предположим теперь, что задано не одно неравенство, а

система неравенств

am1 x1 + am2 x2 + bm ³ 0.

Каждое неравенство определяет некоторую полуплоскость Pi, (i=1,2,..,m). Областью решений системы неравенств (8.55) является область пересечения конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством. И этой областью является многоугольник.

Область решения системы (8.55) может быть замкнутым

(рис.8.8,а) или неограниченным (рис.8.8,б) многоугольником D ,

может быть пустой областью (рис.8.8,в), когда система (8.55) противоречива.

Рис.8.8. Область решения системы неравенств

Область допустимых решений D обладает важным свойством – выпуклостью. Понятие выпуклости мы рассмотрим позднее.

Обобщим сказанное на случай большего числа переменных. При n=3 система (8.55) имеет вид

288

Численные методы оптимизации

Каждая плоскость Pi : ai x1 + bi x2 + ci x3 + di = 0 (i =1,2,..,m) при этом разбивает пространство на два полупространства. Область решений (8.55а) образуется пересечением m полупространств и

представляет собой многогранную выпуклую область в трехмерном пространстве.

Совокупность точек n-мерного пространства, координаты которого удовлетворяют системе (8.52), есть выпуклая многогранная

область D , получающаяся в результате пересечения всех n полупространств, отвечающих неравенствам системы. Если эта область ограничена, мы называем ее выпуклым многогранником.

Опорной прямой (при n=2) называется прямая, которая

имеет с областью D , по крайней мере, одну общую точку. При

этом вся область D расположена по одну сторону от этой прямой. Например, на рис.8.9 L1 и L2 – опорные прямые. L1 проходит через

вершину области D , а L2 – через одну из сторон D .

L1

_

D

L2

Рис.8.9. К определению опорной прямой

При n=3 опорная плоскость может проходить через вершину многогранника, или его ребро, или его грань. Понятие опорной плоскости (гиперплоскости) легко обобщить на случай n>3.

8.3.3. Геометрический метод решения задач линейного программирования

Постановка задачи. Пусть задана целевая функция для двух проектных параметров x1 и x2 :

289

Численные методы оптимизации

Для определенности положим c2 > 0 . И пусть задана система линейных неравенств:

a11 x1 + a12 x2 + b1 ³ 0, a21 x1 + a22 x2 + b2 ³ 0,

................................... (8.57)

am1 x1 + am2 x2 + bm ³ 0, x1 ³ 0, x2 ³ 0.

Требуется среди допустимых решений системы неравенств (8.57) найти такое, при котором целевая функция (8.56) принимает минимальное значение.

Порядок решения

1. Область допустимых решений системы (8.57) – это

выпуклая многоугольная область D на плоскости Х1Х2 , лежащая в

первой четверти, и среди всех точек (x1, x2)Î D требуется найти такую, которая минимизирует функцию цели (8.56). Строим эту

Пусть R изменяется от 0 до +¥. Тогда прямая уровня смещается параллельно самой себе, “зачеркивая” целую

полуплоскость, границей которой будет c1x1 + c2 x2 = 0 . Таким образом, учитывая, что c2 > 0 прямая линии уровня с ростом R смещается вверх (рис.8.10, а ).

290

Рис.8.10. Линии уровня целевой функции

При изменении R от 0 до –∞ прямая линии уровня смещается в противоположную сторону, “зачеркивая” вторую половину полуплоскости (рис.8.10 б). При возрастании R от –∞ до +∞ линия уровня (8.58), смещаясь параллельно самой себе в одну и ту же сторону, “зачеркивает” всю плоскость.

Вывод:

G Чтобы найти минимум целевой функции, зависящей от двух параметров, графическим способом, необходимо:

1.Построить область допустимых решений задачи D , описываемую системой ограничений;

2.Среди всех точек области D найти такую точку, в которой функция цели Z принимает наименьшее значение. Координаты этой точки и дают решение задачи. Причем, это будет первая

точка встречи линии уровня для Zmin с областью D при смещении линии уровня снизу вверх (при возрастании R от -∞ до +∞) [35].

291

Численные методы оптимизации

На рис.8.11 эта точка совпадает с началом координат. Для

любой другой точки из области D значение функции Zmin будет больше, чем в точке (0,0).

Рис.8.11. Графический метод поиска экстремума функции

При решении подобных задач возможны различные случаи: 1. При перемещении линии уровня соприкосновение ее с

областью D произойдет по целому отрезку границы области. В этом случае решений бесконечно много. Такой случай рассмотрен в

примере 8.3.

2. Область D является неограниченной фигурой, и прямая уровня Z = R для сколь угодно больших по абсолютной величине

отрицательных R имеет общие точки с областью D . В этом случае

минимальное значение функции цели в области D равно –∞. Линия уровня –x=R при всех значениях R ( − ∞ < R ≤ 0 ) пересекает

область D . Следовательно, функция цели в области не ограничена снизу, т.е. zmin = −∞ , иначе говоря, минимум функции не достигается. Такой случай приведен в примере 8.4.

3.Область допустимых решений D пуста, и задача (8.56-8.57)

вэтом случае не имеет решения.

292