Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Численные методы оптимизации

Решение задачи оптимизации состоит в нахождении значений управляемых параметров х1, х2, х3,….хn,

удовлетворяющих заданным ограничениям и обращающим в максимум или минимум целевую функцию.

Решение может находиться либо внутри области, либо на границе. Если целевая функция непрерывна, а множество

замкнуто, не пустое и ограниченное, то решение задачи

(8.1) – (8.3) существует.

8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Выбор метода решения задачи оптимизации зависит от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи. Наиболее просты с математической точки зрения случаи, когда целевая

функция формулируется в терминах непрерывных параметров и задается аналитической формулой. А если при этом она еще является и дифференцируемой, то для ее исследования (поиска точек локального экстремума, определения направления ее возрастания и убывания) может быть использована производная.

Локальный экстремум – это точка Х * пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее

или наименьшее значение по сравнению с ее значениями в других точках ближайшей окрестности.

263

Численные методы оптимизации

Глобальным экстремумом называют точку, в которой целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение среди всех локальных экстремумов области определения.

Рис.8.1. Гиперповерхность отклика целевой функции

Функцию Z(X ) называют унимодальной

(одноэкстремальной), если она имеет один экстремум, и

мультимодальной (многоэкстремальной), если она имеет более одного локального максимума (минимума) (рис. 8.1).

С математической точки зрения целевая функция Z(X )

определяет некоторую (n+1)-мерную поверхность

(гиперповерхность), а ограничения задачи – пространство проектирования n-мерного евклидова пространства En. Здесь n – число управляемых параметров.

Например при n=1 пространством проектирования является

отрезок, а функции цели соответствует кривая на плоскости

(рис.8.2,а). При n=2 целевая функция изображается поверхностью в трехмерном пространстве, а пространство проектирования – областью на плоскости (рис.8.2,б). При n³3 – это некоторые гиперповерхности, которые невозможно изобразить обычным способом.

264

Численные методы оптимизации

Рис.8.2. Геометрическое представление целевой функции и ограничений

Введем понятие градиента функции. Это вектор-столбец первых производных Z(X ) по всем переменным. Для удобства

запишем его в виде вектора-строки (транспонированный вектор- столбец):

Доказано [21], что градиент скалярной функции направлен в сторону наискорейшего увеличения функции (наискорейшего подъема).

Вектор, противоположный этому градиенту (отрицательный градиент или антиградиент), направлен в сторону

наискорейшего уменьшения функции (наискорейшего спуска).

Характер экстремума функции (максимум или минимум) в

стационарной точке определяется исследованием поведения

функции Z(X ) в окрестности точки Х * . Для этого формируется

матрица вторых производных целевой функции Н по управляемым параметрам (матрица Гессе – гессиан):

265

Численные методы оптимизации

отрицательно – безусловный максимум. Эти условия являются

достаточными условиями экстремума функции.

В остальных случаях точка Х * является седловой точкой.

На практике проверка характера стационарной точки проводится в простых случаях, когда известно, что функция непрерывна и не менее чем дважды дифференцируема.

Поиск максимума целевой функции ( Z(x) → max ) всегда можно заменить на поиск минимума этой же функции, но взятой с обратным знаком (–Z(x) → min ) (рис.8.3).

266

Отметим, что при таких расчетах xi нельзя брать слишком

малым, а значения функции нужно вычислять с достаточно высокой степенью точности, иначе при вычислении разности

Z = Z(x1 ,..., xi + xi ,..., xn ) − Z(x1 ,..., xi ,..., xn )

будет допущена большая ошибка.

8.1.3. Классификация задач математического программирования

Общие методы нахождения экстремума целевой функции

при наличии ограничений рассматриваются в разделе науки “Исследование операций”, который называется математическим

программированием. В математическом программировании целью решения является набор программ действий, которые оптимальны с точки зрения принятого критерия.

Для разных классов задач, связанных с определенными

видами целевой функции и структурой ограничений, разработаны

различные методы расчета и соответственно этим задачам в

математическом программировании выделяют следующие основные разделы (рис.8.4):

Математическое программирование

Линейное Нелинейное Целочисленное программирование программирование программирование

Квадратичное Выпуклое Геометрическое программирование программирование программирование

Рис. 8.4. Классификация задач математического программирования

267

Численные методы оптимизации

Линейное программирование (ЛП) [17], если

математическая модель состоит из линейной относительно проектных параметров целевой функции (8.1) и входящие в систему ограничения (8.2)-(8.3) также линейны.

Нелинейное программирование [21], если в

математической модели содержится хотя бы одна нелинейная зависимость. В нелинейном программировании традиционно выделяют разделы, имеющие специальную структуру

(квадратичное, выпуклое, геометрическое программирование).

Кквадратичному программированию [21] относят задачи

сквадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.

Выпуклое программирование [17] исследует выпуклые целевые функции и ограничения задачи.

Геометрическое программирование [23] исследует оптимизационные задачи, в которых целевая функция и левые части ограничений представляют собой обобщенные многочлены,

апеременные должны быть положительными.

Внекоторых практических задачах переменные или какая- то их часть должны принимать целые значения. Такие задачи рассматриваются в разделе целочисленное программирование [2, 21].

Методы решения задач математического программирования имеют свою специфику в отличие от методов классического анализа отыскания экстремумов функций, так как даже в наиболее

простых задачах линейного программирования экстремум достигается в угловых точках границы области допустимых решений, т.е. там, где нарушается дифференцируемость функций. Да и в нелинейных задачах, в связи с наличием ограничений,

оптимальное значение целевой функции нередко достигается не там, где имеется нулевой градиент, а соответствует одной из границ области проектирования. При этом, в практических задачах число переменных и ограничений обычно столь велико, что если просто перебирать все точки, "подозреваемые" в экстремальности, то вряд ли даже ЭВМ справится с такой задачей.

268

Численные методы оптимизации

8.2. Постановка задачи оптимального проектирования

Постановка задачи оптимального проектирования ведется с учетом назначения реального объекта, целей проектирования и конкретных условий реализации проекта. Чаще всего

специалистам строительной отрасли приходится решать задачи оптимизации, связанные с процессом проектирования

технических объектов или управления в сфере организационно- хозяйственной или экономической деятельности.

Далее под проектированием мы будем понимать процесс создания проекта не только архитектурно-строительного объекта или конструкции, но и трудовых, экономических процессов, процесса управления предприятием (фирмой).

Процесс проектирования имеет целью получение

оптимального объекта, имеющего возможные наилучшие свойства: минимальный вес, минимальную стоимость, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль минимум капиталовложений и т.п.

Постановка задачи оптимального проектирования носит неформальный характер и включает следующие этапы:

∙определение входных (управляемых) и выходных (переменных состояния) параметров;

∙выбор целевой функции;

∙назначение ограничений;

∙нормирование управляемых и выходных параметров.

8.2.1. Определение входных и выходных параметров

Входные (внутренние) параметры, значения которых могут

меняться в процессе оптимизации и которые являются

аргументами целевой функции, называют управляемыми (или

проектными) параметрами. Значения некоторых входных параметров назначаются и не подлежат изменению. К таким параметрам, например, можно отнести параметры

269

Численные методы оптимизации

унифицированных элементов или те из них, значения которых

оговорены в ТЗ Качество функционирования любой системы характеризуется

множеством выходных параметров Y = (у1, у2, ...,уk) или

критериев эффективности [20]. Среди выходных параметров одна их часть может быть измерена количественно, другая часть представляет собой качественную сторону объекта. Поэтому все

выходные параметры обычно делятся соответственно на

количественные и качественные.

Качественные критерии могут принимать только два значения: 1 или 0. Это может быть, например, разрушение или неразрушение сооружения, прием или неприем на работу какого- то сотрудника. В таких случаях обычно используют вероятностный подход, т.е., выбирают показатель

эффективности в виде вероятности достижения желаемого результата. Например, если А – событие, состоящее в том, что цель достигнута, то показатель эффективности Р(А) есть вероятность события А. Таким образом, совершается переход к более достижимой цели – вероятности выполнения задачи и

соответственно к количественному описанию критерия эффективности.

В дальнейшем под вектором Y будем подразумевать вектор

количественных параметров.

Содержание типичного технического задания (ТЗ) на

проектирование включает в себя конкретные числовые требования к основным выходным параметрам (технические требования). Это могут быть конкретные числовые данные,

характеризующие условия сопряжения системы с внешней средой (диапазоны изменения внешних параметров: напряжений, перемещений, температуры, влажности; условия функционирования системы и пр.); качественное описание требований, ограничений и условий, не поддающихся непосредственно количественной оценке.

Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) иногда называют условиями работоспособности и записывают в виде [20]

270

где yr – допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в ТЗ значения TTr.

Условия работоспособности обычно имеют определяющее значение в задачах проектирования.

Обоснованный вывод о том, насколько удачно то или иное техническое решение, может быть сделан, только когда определены значения всех входных параметров, построена

математическая модель и выполнены расчеты по определению

выходных параметров и условий работоспособности.

После вычислений выходных параметров может оказаться,

что условия работоспособности не выполняются и необходимо провести повторный выбор значений внутренних параметров, т.е.

выполнить вариантный анализ.

8.2.2. Выбор целевой функции

Формирование целевой функции (8.1) всегда выполняется с

учетом различных выходных параметров проектируемого объекта.

Целевая функция количественно выражает качество объекта, и потому ее иногда называют также функцией качества или критерием оптимальности. Все последующие действия направлены на поиск объекта, наиболее близкого к оптимальному по выбранному критерию.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Однако в большинстве реальных задач проектирования преследуется, как правило, не одна, а несколько целей (многокритериальность) [39], которые зачастую имеют противоречивый характер, улучшение одного из них приводит к ухудшению другого, так как все они являются функциями одних и

271

Численные методы оптимизации

тех же управляемых параметро, и не могут изменяться независимо друг от друга.

Например, проектировщик желает, чтобы его проектируемое предприятие обеспечивало максимальную прибыль, имело минимальные капиталовложения, максимальную технологичность, минимальные энергетические затраты и т.п

Поэтому практически всегда возникает задача объединения критериев. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия [2, 20].

В зависимости от того, каким образом выбираются и объединяются выходные параметры в функции цели, различают

частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные и др.

критерии. Рассмотрим некоторые способы объединения (свертывания) критериев.

Частные критерии – наиболее часто используемые в задачах оптимизации. Они могут применяться в случаях, когда

среди выходных параметров можно выделить один основной параметр уi (X ) , наиболее полно отражающий эффективность

проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию (8.1).

Примерами таких параметров могут быть: стоимость проекта,

вес конструкции, производительность и т.п.

Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода – его простота, существенный недостаток – то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий [20] применяют тогда, когда условия работоспособности (8.8) позволяют выделить

272