Метод конечных элементов
В программном комплексе "ЛИРА-Windows" реализованы строительные нормы и правила, действующие на данный момент.
По функциональному принципу в ПК "ЛИРА-Windows" выделяются следующие основные части :
ЛИР-ВИЗОР – графическая среда пользователя; ВХОДНОЙ ЯЗЫК – задание исходных данных в текстовом
режиме; ЛИР-ЛИН – линейный процессор;
ЛИР-СТЕП – нелинейный процессор; ЛИР-АРМ – постпроцессор конструктора железобетонных
конструкций; ЛИР-СТК–- постпроцессор конструктора стальных конструкций;
ЛИТЕРА – определение эквивалентных напряжений по различным теориям прочности;
УСТОЙЧИВОСТЬ – определение коэффициентов устойчивости сооружения;
ФУНДАМЕНТ – сбор нагрузок на обрезы фундаментов; СЕЧЕНИЕ – определение геометрических характеристик для сечений различного профиля.
n ПРОЕКТНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС Structure CAD для Windows (SCAD), представляющий собой дальнейшее развитие программы ЛИРА, реализован как интегрированная система прочностного
анализа и проектирования строительных конструкций на основе метода конечных элементов и позволяет определять напряженно-
деформированное состояние конструкций от статических и динамических воздействий, а также выполнять ряд функций проектирования элементов конструкций.
В основу комплекса положена система функциональных модулей, связанных между собой единой информационной средой.
Функциональные модули SCAD делятся на четыре группы: в первую группу входят модули, обеспечивающие ввод исходных данных в интерактивном графическом режиме (графический препроцессор) и графический анализ результатов расчета (графический постпроцессор).
Модули второй группы служат для выполнения статического и динамического расчетов (процессор), а также вычисления расчетных сочетаний усилий, комбинаций загружений, главных и эквивалентных напряжений, реакций, нагрузок на фрагмент схемы, анализ устойчивости (эти модули условно называются расчетными постпроцессорами).
Метод конечных элементов
Документирование результатов расчета выполняется модулями третьей группы.
В четвертую группу включаются проектирующие модули
(проектирующие постпроцессоры), которые служат для подбора арматуры в элементах железобетонных конструкций, а также проверки сопротивления и подбора сечений элементов стальных конструкций.
Модульная структура дает возможность сформировать для каждого пользователя такую конфигурацию SCAD, которая максимально отвечает его потребностям по классу решаемых задач, средствам создания расчетных схем, анализу и документированию результатов расчета.
Высокопроизводительный процессор позволяет решать задачи статики и динамики с большим количеством степеней свободы (до
392000).
Библиотека конечных элементов содержит различные виды стержневых элементов, включая шарнирно-стержневые, рамные, балочного ростверка на упругом основании, позволяет учитывать сдвиг в сечении стержня. Пластинчатые элементы, которые представлены трех- и четырехузловыми элементами плит, оболочек и балок-стенок, могут
содержать дополнительные узлы на ребрах и обеспечивают решение задач для материалов с различными свойствами (с учетом ортотропии, изотропии и анизотропии). Кроме того, библиотека включает различные виды объемных элементов, а также специальные элементы для моделирования связей конечной жесткости, упругих связей и другие.
Для формирования геометрии расчетных схем в комплексе предусмотрена широкая гамма средств, таких как функции создания схем по параметрическим прототипам конструкций, генерации сеток элементов на плоскости и в пространстве, копирование фрагментов схем, сборки из подсхем и групп, различные функции геометрических преобразований. В режиме графического диалога задаются все основные параметры схем, включая жесткостные характеристики элементов, условия опирания и примыкания, статические и динамические нагрузки и др. Графический
интерфейс максимально приближен именно к технологии создания и модификации расчетных схем и учитывает особенности обработки информации этого вида.
В комплекс включены параметрические прототипы многоэтажных и одноэтажных рам, ферм с различным очертанием поясов и решеток, балочные ростверки, а также поверхности вращения (цилиндр, конус, сфера и тор). В процессе их формирования могут быть автоматически назначены условия опирания, типы и жесткости конечных элементов. Библиотека параметрических прототипов постоянно расширяется и совершенствуется.
Метод конечных элементов
Специальные средства предусмотрены для создания расчетных моделей, поверхность которых описывается аналитически. Для
формирования произвольных сеток на плоскости используется автоматическая триангуляция, с помощью которой сетка может быть нанесена на любую область расчетной схемы.
Для того чтобы обеспечить инженеру работу с расчетной схемой в привычной среде, используются разбивочные (координационные) оси. На
этих осях могут выполняться операции по созданию схемы и ее фрагментации. Они могут быть показаны на всей схеме или на любом ее фрагменте.
7.6.2.Универсальные программные комплексы
Ун и в е р с а л ь н ы е программные комплексы общего назначения позволяют исследовать широкий класс конструкций и физических явлений при различных условиях нагружения и свойствах материалов. Их отличительными признаками являются: а) сложная логическая структура; б) длительное время разработки; в) обширная библиотека конечных элементов; г) модульный принцип построения; д) наличие базы данных и СУБД; е) большой объем входной и выходной информации и др.
Примеры универсальных программных комплексов, которые используют для расчета строительных объектов: ANSYS, NASTRAN, COSMOS, STARK, COSAR и др. Рассмотрим один из них:
n УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС – ANSYS
[49] – это программа конечно-элементного анализа, разработанная доктором Джоном Свенсоном и сотрудниками фирмы Swanson Analysis Systems Incorporated (SASI) в 1970 году. С того времени программа стала
необходимым инструментом инженерного проектирования и проведения анализа разработок методом конечных элементов. В настоящее время программа ANSYS доступна для работы на всех компьютерах – от персональных компьютеров (PC) до суперЭВМ.
ANSYS – это ПК, который ставит своей основной целью
предоставление возможности выполнения практически любого вида анализа с помощью метода конечных элементов в интересах фактически
любой отрасли производства: строительной, автомобильной,
космической, машиностроительной, и др. Универсальность программы заключается в том, что ее можно использовать при решении задач во всех
Метод конечных элементов
технических дисциплинах: прочности, механики, теплофизики, гидромеханики и др. Возможности программы ANSYS реализуются благодаря отдельным программам, составляющим полный пакет ANSYS. Так, например,
·программа ANSYS/LinearPlus обеспечивает решение задач линейной статики (с нелинейными элементами зазора и большими прогибами балок и оболочек), динамики и устойчивости..
·ANSYS/Thermal содержит возможности теплового анализа.
·ANSYS/Multiphysic – представляет собой программное средство анализа, позволяющее проводить расчетные исследования не только в таких отдельных областях знания, как прочность, распространение тепла, механика жидкостей и газов или электромагнетизм, но и решать связанные задачи.
·ANSYS/Mechanicalä предоставляет широкие возможности для решения сложных задач прочности конструкций, теплопередачи и акустики. Эта программа является мощным инструментом для определения перемещений, напряжений, усилий, температур и давлений, а также других важных параметров.
·ANSYS/Structuralä выполняет сложный прочностной анализ конструкций с учетом разнообразных нелинейностей, среди которых геометрическая и физическая нелинейности, нелинейное поведение конечных элементов и потеря устойчивости.
Используется для точного моделирования поведения больших и сложных расчетных моделей.
·ANSYS/FLOTRANä – это удобное программное средство для решения разнообразных задач гидродинамики, включая
ламинарное и турбулентное течение несжимаемой или сжимаемой жидкости.
Впрограмме ANSYS можно работать в интерактивном или пакетном режиме. Полностью интерактивная графика (т.е. средства и системы ввода, отображения и редактирования изображений) является составной частью программы ANSYS.
Все функции, выполняемые программой ANSYS, объединены в группы, которые называются процессорами. Программа имеет один
препроцессор, один процессор решения, два постпроцессора и несколько вспомогательных процессоров, включая оптимизатор.
Препроцессор используется для создания конечно-элементной модели и выбора опций для выполнения процесса решения.
Процессор решения используется для приложения нагрузок и граничных условий, а затем для определения отклика модели.
Метод конечных элементов
С помощью постпроцессора пользователь обращается к результатам решения для оценки поведения расчетной модели, а также для проведения дополнительных вычислений, представляющих интерес.
Средства препроцессорного твердотельного моделирования программы ANSYS позволяют иметь дело непосредственно с геометрической моделью, не обращаясь к специфическим объектам (узлам и элементам) конечно-элементной модели. Для того чтобы облегчить генерацию модели, программа отделяет фазу задания
геометрии и граничных условий от построения сетки конечных элементов. Сначала пользователь описывает геометрию (и граничные условия, если есть желание) твердотельной модели. Если делать это в интерактивном режиме, то возможна удобная проверка входных данных. Программа строит сетку для получившейся модели, что определяет местоположение узлов и связность элементов. После того как построена твердотельная модель, ее конечно-элементный аналог (т.е. сетка узлов и элементов) может быть создана всего лишь одним обращением к меню программы. В программе ANSYS предусмотрено четыре способа генерации сетки: монтаж из простых составных частей, независимый способ, метод экструзии и адаптивное построение.
Средства твердотельного моделирования включают в себя представление геометрии, основанное на использовании сплайновой технологии, геометрических примитивов и операций булевой алгебры.
При желании можно отказаться от услуг твердотельного моделировщика и построить конечно-элементную модель непосредственным заданием узлов, элементов и граничных условий.
Пользователь получает результаты анализа на стадии решения, Эта фаза применения программы ANSYS состоит в задании вида анализа и его опций, нагрузок и шага решения и заканчивается запуском на счет конечно-элементной задачи. Выбранный вид анализа указывает программе, какие разрешающие уравнения следует использовать для решения данной задачи. Каждая категория расчетов включает несколько их отдельных типов, например, статический и динамический типы прочностных расчетов. Выбором опций можно дополнительно определить особенности проводимого анализа.
Заданные нагрузки и ограничения определяют граничные условия для расчетной модели. К нагрузкам относятся ограничения степеней свободы, сосредоточенные, распределенные, объемные и инерционные усилия. Конкретный вид нагрузок зависит от вида проводимого анализа (например, приложенная в точке нагрузка может быть сосредоточенной
Метод конечных элементов
силой при прочностном анализе или тепловым потоком при расчете теплопередачи).
На стадии получения решения имеется возможность изменить свойства материала и атрибуты конечного элемента. Пользователь имеет возможность выбирать те конечные элементы, которые могут менять степень полинома, тем самым уменьшая общее время решения.
После того как все соответствующие параметры заданы, может быть выполнено и само решение. Пользователь поручает программе
решить определяющие уравнения и получить результаты для выбранного вида анализа. В вычислительном отношении это самая интенсивная часть анализа, не нуждающаяся, однако, во вмешательстве пользователя. Она
требует самых значительных затрат компьютерного времени и минимальных затрат времени пользователя. Для того чтобы получить решение за минимальное время, программа ANSYS переупорядочивает расположение элементов и узлов.
Все типы расчетов, выполняемые программой ANSYS, основаны на классических инженерных представлениях и концепциях. При помощи
численных методов эти концепции формулируются в виде матричных уравнений, которые наиболее пригодны для конечно-элементных приложений.
Совокупность дискретных областей (элементов), связанных между собой в конечном числе точек (узлов), представляет собой математическую модель системы, поведение которой нужно анализировать. Основными неизвестными являются степени свободы узлов конечно-элементной модели. К степеням свободы относятся перемещения, повороты, температуры, давления, скорости, потенциалы электрических или магнитных полей; их конкретное содержание определяется типом элемента, который связан с данным узлом. В
соответствии со степенями свободы для каждого элемента модели формируются матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Эти матрицы приводят к системам совместных уравнений, которые обрабатываются так называемыми “решателями”. По умолчанию для решения систем уравнений используется фронтальный решатель. Решатель этого типа
одновременно формирует и решает общую для нескольких элементов матрицу жесткости, состоящую из индивидуальных матриц элементов. Эта процедура последовательно продвигается через всю модель, элемент за элементом, вводя уравнения, соответствующие степеням свободы отдельного элемента. В это же время определяются основные неизвестные
Метод конечных элементов
и исключаются (на основе метода Гаусса) из общей матрицы. С помощью алгоритмов прямого действия – типа фронтального решателя – получают “точное” решение системы, а итеративные решатели дают сходящееся от итерации к итерации, приближенное решение.
С помощью постпроцессорных средств программы пользователь имеет возможность легко обратиться к результатам решения и интерпретировать их нужным образом, используя обширный набор команд и функций дружественного интерфейса. Результаты решения включают значения перемещений, температур, напряжений, деформаций, скоростей и тепловых потоков. Итогом работы программы на постпроцессорной стадии является графическое и/или табличное представление результатов.
Численные методы оптимизации
Глава 8. Численные методы оптимизации
Необходимость принятия наилучших решений так же стара, как само человечество.
Термин «оптимизация» в литературе обозначает процесс отыскания наилучшего или оптимального решения. На практике под оптимизацией понимается скорее стремление к совершенству, которое, возможно, не будет достигнуто по ряду объективных причин.
С оптимизацией явно или неявно мы встречаемся в любой сфере человеческой деятельности, в том числе и в строительстве. Методы оптимизации позволяют при решении организационно-
управленческих задач получить наилучшее распределение ресурсов или оптимальные объемы выпуска продукции с целью получения максимальной прибыли; в задачах технического проектирования –
выбрать наилучший вариант конструкции или сооружения и т.д. Проблема оптимизации имеет два основных аспекта:
1)нужно поставить задачу или разработать ее
математическую модель в виде математических выражений, устанавливающих основные взаимосвязи оптимизируемых параметров, формализовав при этом понятие «оптимальный», придав количественные оценки возможным вариантам, количественный смысл словам «лучше», «хуже»;
2)нужно решить задачу, уже имеющую математическую формулировку, выбрав подходящий вычислительный процесс (чаще всего – численный метод), учитывающий все условия, содержащиеся в математической модели.
Постановка задачи оптимизации является наиболее сложным и ответственным этапом. Она осуществляется с учетом
назначения реального объекта, целей проектирования (управления) и конкретных условий реализации задачи. Далее на примерах наиболее типичных задач экономики, управления и
проектирования мы рассмотрим приемы и особенности
260
Численные методы оптимизации
построения математических моделей задач оптимизации, а также методы их решения.
Но прежде рассмотрим, что представляет собой математическая модель задачи оптимизации, и введем ряд понятий и определений, используемых в этих задачах.
8.1.Общие сведения
8.1.1.Математическая модель задачи оптимизации
Задача оптимизации обычно сводится к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией (или функцией цели):
Z=Z(х1, х2, х3,….хn). (8.1)
В качестве целевой функции могут быть приняты,
например: минимальный вес конструкции, максимальный объем выпуска продукции; минимальная стоимость перевозок груза; максимальная прибыль и т.д.
Параметры х1, х2, х3,….хn, – переменные величины, которые
могут изменяться непрерывно или дискретно и должны однозначно определять целевую функцию. Они называются
управляемыми (или проектными) параметрами.
Количество n параметров хi (i=1,2,…n), определяет размерность (сложность) задачи.
Область, определяемая всеми проектными параметрами,
называется пространством проектирования. Это пространство обычно не столь велико, как может показаться, так как в практических задачах ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи (это могут быть законы природы,
механики, экономики, права, наличие необходимых материалов и ресурсов и т.п.). Управление строительством или техническое
проектирование всегда ведется в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов.
Численные методы оптимизации
Выражения, описывающие эти условия, называются ограничениями задачи. Ограничения делятся на две группы:
– |
ограничения -равенства: |
|
|
|
hi(х1, х2, х3,….хn)=0 (i=1,2,…k), |
(8.2) |
– |
и ограничения-неравенства: |
|
|
|
gj(х1, х2, х3,….хn) £ или ³ 0 |
(j=1,2,…l). |
(8.3) |
Значения управляемых параметров, при которых выполняются ограничения (8.2)-(8.3), называются допустимыми
решениями задачи.
Допустимое решение Х * ( x1* , x2 * ,.., xn * ) , дающее
экстремум функции цели (8.1), называется оптимальным решением.
Оптимальное решение (если оно вообще существует) не обязательно единственно. Возможны случаи, когда имеется
бесчисленное множество оптимальных решений.
Считается, что математическая модель задачи оптимизации построена, если определены управляемые параметры, построена целевая функция (8.1) и записаны ограничения задачи (8.2) – (8.3).
Для записи математической модели задачи оптимизации в общем виде часто используется следующая символика [20]:
найти |
Z(Х ) ® min(max) , |
Х ÎW |
(8.1*) |
при ограничениях: Ω : hi (Х ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
(i =1, k |
) , |
(8.2*) |
|
g j (Х ) £ 0 |
( j = |
|
) , |
(8.3*) |
|
1,l |
где Z(Х ) – целевая функция, зависящая от вектора управляемых
параметров Х ; Ω – допустимое множество, заданное ограничениями на управляемые параметры.
