Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

дифференцирования соответствующей узловой переменной, а i – номер узла.

243

Метод конечных элементов

Описанная процедура может быть обобщена включением дополнительно к функции w и ее первым производным производных более высокого порядка.

Для двухмерных элементов интерполяция применяется дважды: первая – в направлении х, а вторая – в направлении у, что дает функции формы в виде произведения одномерных функций.

7.4.2.Изопараметрические, субпараметрические

исуперпараметрические элементы

Вообще говоря, геометрия элемента может не совпадать по порядку с интерполяционной функцией, описывающей искомую величину. Это позволяет сочетать как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и

элементы сложной формы с простыми интерполяционными полиномами [26, 36].

1.Если число узлов, определяющих форму элемента, равно числу узлов, определяющих интерполяционную функцию, – это изопараметрические элементы. Особенно эффективными являются изопараметрические элементы 2-го порядка, в которых в

качестве узлов используются угловые точки и точки на серединах сторон элемента. Они дают возможность хорошо

аппроксимировать криволинейные границы и поверхности без более детальной дискретизации.

2.Если число узлов, используемых для определения формы элемента, меньше числа узлов, определяющих интерполяционную функцию – то элементы называются субпараметрическими. Такие элементы применяются там, где преобладают комплекс-элементы,

инет необходимости в искажении формы элемента.

3.Если число узлов, используемых для задания формы элемента, больше числа узлов, определяющих интерполяционную функцию, такие элементы называются суперпараметрическими.

Большинство находящихся в практическом пользовании программных комплексов МКЭ на базе метода перемещений содержат в своей библиотеке изопараметрические элементы, т.е.

перемещения для всего элемента в них аппроксимируются теми же интерполяционными полиномами, что и координаты.

244

Метод конечных элементов

7.4.3. Некоторые рекомендации по выбору конечного элемента

При решении практических задач для исследователя важен вопрос выбора типа конечного элемента.

К сожалению, нет четких правил выбора лучшего элемента, т.к. это зависит от многих факторов: типа задачи, геометрии границ, граничных условий, требуемой точности и др. Тем не менее можно сформулировать несколько рекомендаций, помогающих выбору конечного элемента.

§Прежде всего, для аппроксимирующей функции должны существовать все производные, появляющиеся в функционале.

Поэтому в строительных конструкциях лагранжевы элементы обычно применяют при расчетах плоских и пространственных ферм, плоских задач теории упругости. При расчете изгибаемых конструкций типа рам, плит перекрытий

рекомендуется использовать эрмитовы элементы либо лагранжевы элементы, но более мелких размеров.

§Для удовлетворения условий сходимости следует применять элементы, основанные на полном полиноме, что для

большинства задач соответствует согласованности элементов.

§Предпочтительнее выбирать элементы, у которых узловые параметры концентрируются в вершинах.

§При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для

удовлетворительного геометрического представления этих границ требуется большое количество граничных элементов с прямыми сторонами (гранями). Если использовать криволинейные элементы, то их число может быть заметно сокращено, и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым присуще большое число переменных, такое сокращение может быть очень полезным.

245

Метод конечных элементов

7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ

По-видимому, при решении любой достаточно

ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества полученного решения. В теории МКЭ большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. оценке точности получаемого

приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Строгое доказательство таких важных свойств, как сходимость, устойчивость и точность метода,

проводится в соответствующих разделах математики [16, 26, 34] и часто представляет собой непростую проблему.

Установлен [16] ряд важных теорем о сходимости.

Например, для совместных элементов определено, что если (k–1) является степенью полинома, с помощью которого внутри

конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях u*, то ошибка в энергии

по сравнению с точным решением u составляет

U(u-u*, u-u*) ≤ C2h2(k-m)||u||2k ,

где h – максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).

При естественных ограничениях на исходные данные и сетку области сходимость имеет место, и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с обозначена константа, зависящая от формы области; h — шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка может

служить ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности.

Указанные оценки сходимости МКЭ ориентированы на выяснение асимптотических свойств решения, а практического

расчетчика обычно интересует степень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов. Причем под "практической сходимостью" мы будем

понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении. Поэтому на практике качество

246

Метод конечных элементов

полученного решения обычно проверяют путем повторного рассмотрения задачи на другой более мелкой сетке элементов. Конечно, большую задачу, вряд ли, стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа

для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости

результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.

Однако при проведении такого анализа расчетчик должен учитывать некоторые серьезные проблемы.

При удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться внутренние усилия или напряжения. Они определяются дифференцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной. Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентированы на исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче.

Приведем сравнительные расчеты [48] шарнирно опертой квадратной пластинки, загруженной по всей площади равномерно

распределенной нагрузкой которые выполнялись на четырех сетках конечных элементов — 4×4, 8×8, 16×16 и 24×24 (рис.7.19).

На рис.7.20 приведены результаты расчета по перемещениям,

изгибающим моментам и поперечным силам для конечных элементов различного типа, полученные на указанных сетках.

247

Метод конечных элементов

Рис. 7.19. Изополя изгибающих моментов для расчетных схем

с различными сетками конечных элементов

Рис. 7.20. Сходимость результатов при равномерной нагрузке: а - по прогибам, б - по моментам, в - по

поперечным силам

248 в)

Метод конечных элементов

Организация проверки практической сходимости должна учитывать, что решаемая задача может иметь неприятные особенности, связанные с некорректной идеализацией конструкции. Типичным примером является идеализация нагрузки в виде сосредоточенной силы (практически нереализуемая ситуация), с которым могут быть связаны такие свойства решения задачи, как появление уходящих в бесконечность решений и высокие градиенты поля напряжений.

В следующей серии численных экспериментов та же пластинка была загружена сосредоточенной силой. Результаты, представленные на рис.7.21, оказались менее оптимистичными.

Здесь замедлилась скорость практической сходимости по

моментам, и еще более существенно - по поперечным силам,

значения которых взяты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от центра пластинки.

Рис.7.21. Сходимость результатов

при нагружении сосредоточенной силой: а - по прогибам, б - по моментам, в - по поперечным силам

в)

249

Метод конечных элементов

По-видимому, для поперечных сил вообще не следует брать во внимание значения для точек, столь близко расположенных около места приложения сосредоточенной нагрузки.

Таким образом, проверку практической сходимости стоит организовать на примерах, близких к практически интересующему классу задач, но таких, для которых имеются точные решения и известны их неприятные особенности.

7.6. Программные комплексы на основе МКЭ для расчета строительных объектов

В настоящее время имеется много апробированных программных комплексов (ПК), в которых реализован МКЭ. Благодаря этому стали возможными постановки проблем, которые

до сих пор с трудом поддавались расчету или вовсе были недоступны для расчета. МКЭ в методическом плане в наибольшей степени соответствует образу мышления и труду инженера, но при

этом предъявляет повышенные требования к его способностям к физико-математическому моделированию постановок технических проблем.

Обычная процедура выполнения расчета с использованием программного конечно-элементного комплекса состоит в создании расчетной модели, задании нагрузок, получении решения и интерпретации результатов.

Все программные комплексы можно подразделить на

специализированные и универсальные.

7.6.1. Специализированные программные комплексы

Специализированные программные комплексы предназначены для анализа вполне определенного класса конструкций или процессов при приложении определенного вида нагрузок или воздействий. Для специализированных ПК характерны: а) высокая эффективность решения задач рассматриваемого класса; б) простая логическая структура; г) относительно невысокие затраты на разработку и стоимость.

250

Метод конечных элементов

Примерами таких специализированных программ для расчета строительных систем и несущих конструкций, в которых реализован МКЭ, на сегодняшний день являются ПК "ЛИРА- Windows" (НИИАСС, г.Киев), "SCAD", "Мономах" "Micro Fe", "ProFEt-Stark ES", и множество других узкоспециализированных программ. Рассмотрим некоторые из них.

nПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС "ЛИРА-Windows" [47]

ПК "ЛИРА-Windows" является современным поколением ЛИРОподобных программ, традиционно используемых в строительных проектных организациях для расчета строительных сооружений, в котором реализован метод конечных элементов (МКЭ).

ПК "ЛИРА-Windows" обеспечивает исследование широкого класса конструкций: пространственные стержневые системы, произвольные пластинчатые и оболочечные системы, мембраны, массивные тела,

комбинированные системы − рамно-связевые конструкции высотных зданий, плиты на грунтовом основании, ребристые пластинчатые системы, многослойные конструкции.

Расчет выполняется на статические и динамические нагрузки.

Статические нагрузки моделируют силовые воздействия от сосредоточенных или распределенных сил или моментов, температурного нагрева и перемещений отдельных областей конструкции. Динамические нагрузки моделируют воздействия от землетрясения, пульсирующего потока ветра, вибрационные воздействия от технологического оборудования, ударные воздействия.

Исследуемые объекты могут иметь произвольные криволинейные очертания, локальные ослабления в виде различной формы отверстий и полостей, различные условия опирания.

Основными этапами решения задач по МКЭ являются: синтез

дискретной расчетной схемы на основе расчленения исследуемой системы на конечные элементы; построение матриц жесткости; формирование системы канонических уравнений, отражающих кинематическую совместность расчетной системы; решение системы уравнений и вычисление значений узловых перемещений; определение компонентов напряженно-деформированного состояния исследуемой системы по найденным значениям узловых перемещений.

В "ЛИРА-Windows" автоматизированы все этапы решения задач по МКЭ, в том числе и процесс генерации расчетной сетки.

251

Метод конечных элементов

При синтезе расчетных схем в распоряжении пользователя имеются многочисленные приемы фрагментации, использование регулярных сеток, размножения, задания табличной информации, умолчание, масштабирование и многое другое. При анализе результатов расчета пользователь может прибегать к цифровой информации, а для общего представления использовать изополя и изолинии параметров напряженно- деформационного состояния. Графическая среда пользователя функционирует при работе как с основной системой, так и с суперэлементами.

В ПК "ЛИРА-Windows" включено большое количество типов конечных элементов: стержни, четырехугольные и треугольные элементы мембраны, плиты, оболочки (изотропный и ортотропный материал, многослойные конструкции), четырехугольные и треугольные элементы плиты на упругом основании; разнообразные пространственные элементы; одномерный и двухмерный (треугольный и четырехугольный ) осесимметричные элементы; специальные элементы, моделирующие связь конечной жесткости, упругую податливость между узлами; элементы, задаваемые численной матрицей жесткости.

Развитая библиотека конечных элементов, современные

быстродействующие алгоритмы решения систем уравнений и определения собственных чисел практически не накладывают ограничения на тип и свойства рассчитываемого объекта и дают возможность решать задачи с большим количеством неизвестных.

ПК имеет конструирующие системы для железобетонных и стальных конструкций и систему документирования, позволяющую оформлять результаты расчета в требуемом виде.

ПК "ЛИРА-Windows" рекомендуется применять при расчетах

пилоны и вантовые системы висячих мостов, мостовые опоры, тоннели;

специальных сооружений − конструкции высотных башен и мачт, телескопов, магистральных трубопроводов, котлов, корпусов и отдельных фрагментов судов, летательных аппаратов, тяжелые конструкции атомной энергетики, гидротехнических сооружений.

252