Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Метод конечных элементов

ji(e) (x) – координатные функции элемента, которые в данной задаче выбираются так, чтобы при подстановке координат соответствующих узлов в (7.27) коэффициенты αi равнялись бы

перемещениям узлов конечных элементов.

В матричной форме решение (7.27) можно записать как

где [N(x)] – функции формы. Они зависят только от координат и размеров элементов.

Нижние индексы обозначают размерность матрицы; n определяет размерность задачи (n = 1 – одномерная, n= 2 – плоская, n = 3 – пространственная), а m обычно предполагается кратным n (m=Nn), N – число узлов конечного элемента. В частности, для плоской задачи m =2N.

Вектор {d} – искомые значения перемещений узлов конечных

Представление интеграла по области в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному элементу, позволяет рассматривать различные свойства материалов для различных элементов. Это является важным свойством МКЭ.

233

Метод конечных элементов

Подставляя (7.27) в (7.29) и производя интегрирование, получаем вместо функционала функцию П, зависящую от узловых значений перемещений.

Для нахождения экстремума этой функции, а

Выполнив необходимые действия (интегрирование и дифференцирование), получаем систему m (или 2N–- для данной задачи) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых параметров, называемую разрешающей

системой уравнений, которая в матричной форме может быть записана

Здесь [К] – матрица жесткости (квадратная, симметричная, ленточной структуры размером [m× m]).;

{d} – вектор узловых значений искомой функции;

{F} – вектор внешней нагрузки.

Матрицу жесткости всей системы К обычно получают

суммированием коэффициентов матриц жесткости каждого конечного элемента в соответствующих позициях матрицы жесткости всей системы. Интегрирование при вычислении

матрицы жесткости элемента производится в общем случае численно. В матрицу жесткости системы включаются

кинематические краевые условия (граничные условия). В этом

случае матрица жесткости системы положительно определена и однозначно разрешима.

234

Метод конечных элементов

Из решения системы линейных алгебраических уравнений

(7.31) определяются узловые значения искомой функции, в данном случае перемещения узлов {d}.

Перемещения в любой точке каждого конечного элемента в дальнейшем могут быть определены по формуле (7.27).

А зная перемещения во всех точках элемента, можно легко определить деформации {e} и напряжения {s} в каждой точке конструкции.

В основе курса теории упругости [1, 34] лежат два важных соотношения: соотношения связи между деформациями и перемещениями, и закон Гука, который связывает компоненты

напряжений и деформаций.

Так, соотношения связи между деформациями {e} и перемещениями {d} в двухмерном случае имеют вид:

И если известны перемещения узлов конечного элемента, то вектор деформаций, выраженный через узловые перемещения,

можно записать

ìexx ü

Здесь {e}= ïíeyy ïý , [B] – матрица, получаемая дифференцированием

ïîexy ïþ

надлежащим образом матрицы функций формы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [B] зависят от типа используемого элемента и от вида рассматриваемой задачи.

235

Метод конечных элементов

ìσ х ü

где {σ}= ïíσ у ïý – вектор напряжений.

ïîτ ху ïþ

Матрица [D] содержит упругие константы материала и зависит от вида напряженно-деформированного состояния конструкции:

– для случая плоского напряженного состояния (напряжение σ z ,

нормальное к рассматриваемому плоскому телу, равно нулю)

– для случая плоского деформированного состояния (деформации

ε z , нормальные к плоскости нагружения, равны нулю)

где Е – модуль упругости, ν – коэффициент Пуассона материала.

Аналогично решаются одномерные и трехмерные задачи теории упругости, а также краевые задачи, описывающие другие физические явления.

7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов

Приведем без вывода некоторые разрешающие уравнения для задач, представляющих практический интерес в расчетах строительных объектов [16, 26, 36]:

1.Решение не только плоских, но и пространственных задач

статического анализа, а также задач стационарной

теплопроводности приводит к разрешающим уравнениям вида

(7.31).

236

Метод конечных элементов

2.При учете действия на конструкцию нагрузок, зависящих от времени (динамических нагрузок), разрешающее уравнение

прочностного динамического анализа можно записать как

3.Разрешающее уравнение модального анализа (получающееся

при определении собственных частот и форм колебаний механических систем) имеет вид

где

[C] – матрица удельных теплоемкостей;

{Т&} – производная по времени температуры в узле

[K] – матрица эффективной теплопроводности; {T} – вектор узловых температур;

{Q} – вектор эффективного теплового потока в узле.

237

Метод конечных элементов

5. Разрешающее уравнение течения жидкости в трубопроводе:

n Пример использования МКЭ в задаче о нахождении распределения температуры в однородном стержне [42] (см. рис. 6.5).

Краевая задача (6.14) расчета одномерного температурного поля в

однородном стержне (пример 6.6) заменяется вариационной задачей, в которой минимизируется функционал:

где V – объем тела; S – площадь границы.

В функционал F входят оба граничных условия (6.14а и 6.14б). При

минимизации функционала используется множество функций элементов дискретизированной области. Для простоты вычислений будем считать, что стержень разбит всего на два элемента (в практических случаях этого недостаточно) (рис. 7.17).

238

Метод конечных элементов

Рис.7.17. К задаче нахождения распределения

температуры в однородном стержне МКЭ

Аппроксимируем распределение температуры в элементах выражениями (7.13):

где S1 и S2 – площади сечений стержня, на которых заданы граничные условия (6.14 а) и (6.14 6) соответственно.

Для вычисления объемного интеграла в (7.43) его необходимо разбить на два слагаемых в соответствии с принятой конечно-элементной моделью:

Второе и третье слагаемые в (7.43) вычисляются просто, так как подынтегральным функциям соответствуют узловые значения T1 и Тз:

239

где S1 и S2 – площади поверхностей, на которых заданы q и α (для рассматриваемого примера S1=S(1) и S2=S(2) ).

Значение функционала F вычисляется простым суммированием выражений (1.41) – (1.43):

G Примечание. Матрица коэффициентов К в (7.50 б) по-прежнему называется матрицей жесткости, хотя по физическому смыслу в данной задаче ее удобнее было бы назвать матрицей теплопроводности. Такое название матрицы К пришло из строительной механики, где МКЭ начал применяться раньше, чем в других областях техники.

240

Метод конечных элементов

Зная характеристики материала, из системы (7.50) можно определить узловые значения T1, Т2, Т3.

Из (7.50) нетрудно заметить, что однотипные конечные элементы вносят в эти выражения слагаемые одного вида. Поэтому при реализации

МКЭ вклад элемента определенного типа в матрицу жесткости вычисляется только один раз, а затем используется во всех необходимых случаях. При этом алгоритм получения матрицы жесткости

несколько отличается от описанного выше и состоит из следующих этапов:

Этап 1. Представление функционала F в виде суммы соответствующих функционалов для элементов.

Для рассмотренного примера F=F(1)+F(2), причем

(при этом вычисляются матрицы жесткости К(е) и векторы нагрузки B(e) ) для всех конечных элементов). В примере

Этап З. Суммирование матриц жесткости и векторов нагрузки отдельных элементов (сумма приравнивается нулю, что позволяет получить систему (7.50)).

241

Метод конечных элементов

7.4. Другие типы конечных элементов

7.4.1. Элементы Эрмита

При решении некоторых задач в качестве узловых параметров функции целесообразно использовать не только значения самой функции, но и значения ее производных, например, при расчете изгибаемых элементов (рам, балок, плит перекрытий).

Это связано со следующим.

GПорядок полинома, зависящий от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции, должен быть не ниже наивысшего порядка производной, входящей в функционал.

Вэтом случае в качестве аппроксимирующих полиномов вместо полиномов Лагранжа используют полиномы Эрмита. А элементы, в которых их используют, называются, соответственно,

эрмитовы элементы.

Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент балки или рамы с двумя узлами i и j (рис.7.18),

имеющий по три степени свободы в каждом узле: прогиб w, угол поворота

Учитывая порядок производной u в функционале (6.82), функцию, описывающую перемещения u вдоль оси элемента, можно аппроксимировать выражением (7.19):

u= NiUi + N jU j ,

аинтерполяционная функция, описывающая прогиб w и угол поворота dwdx для элемента, может быть записана в виде [26]

242