Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Метод конечных элементов

1)Так же как и в случае одномерного элемента функция формы Ni равна 1 в узле с номером i и нулю в узлах j и k. То же относится и к другим узлам и функциям формы.

2)Функция ϕ изменяется линейно между двумя любыми узлами. Поэтому, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию ϕ, необходимо использовать очень малые по величине элементы.

3)Если провести любую прямую линию, пересекающую две стороны элемента, то вдоль этой линии значение ϕ будет постоянно.

Заметим, что функции формы – для одномерного (7.13) и для

двухмерного (7.17) симплекс-элементов были получены для типичных элементов, безотносительно их положения в области и физического смысла решаемой задачи. Поэтому они удовлетворяют всем элементам данного типа.

Описанная процедура определения коэффициентов аппроксимирующих функций может быть обобщена и на другие типы двухмерных и трехмерных элементов.

Можно показать, что функции формы (7.13) и (7.17) представляют собой полиномы Лагранжа [13, 26]

и могут быть получены непосредственным использованием

интерполяционной формулы Лагранжа (см. главу 4). Отсюда и название элементов, в которых в качестве узловых параметров используются только значения функции в узлах – лагранжевы

элементы.

7.2.3. Интерполирование векторных величин

Рассмотренные выше интерполяционные формулы были получены для скалярной величины ϕ.

Векторная величина, например перемещение, имеет как величину, так и направление, поэтому в каждом узле необходимо определять более одной неизвестной (степеней свободы).

223

Метод конечных элементов

Обычно в этом случае поступают следующим образом:

векторная величина представляется ее компонентами, которые рассматриваются как неизвестные скалярной величины. Каждый

узел будет содержать разное количество неизвестных в зависимости от того, какая задача рассматривается – одномерная, двухмерная или трехмерная.

На рис. 7.11 показаны компоненты вектора перемещений u для одномерного, двухмерного и трехмерного симплекс-элементов.

В одномерной задаче представления векторной и скалярной величин внутри элемента совпадают в случае, если в каждом узле определяется только одна неизвестная (u –перемещение вдоль элемента):

В двухмерном треугольном симплекс-элементе горизонтальное перемещение u аппроксимируется выражением

а

в

б

Рис.7.11. Обозначения узловых векторных величин, используемых в симплекс-элементах

224

Распространив эту процедуру на случай трех измерений, получим следующие зависимости:

Полученные интерполяционные соотношения записаны в глобальной системе координат, но они легко могут быть представлены в той или иной локальной системе координат [26, 34], что обычно и делается для упрощения процесса интегрирования.

225

Метод конечных элементов

7.2.4. Разбиение области на конечные элементы

Как отмечалось выше, дискретизация одномерного тела сводится к делению отрезка на более короткие участки. При

статическом расчете стержневых систем обычно каждый стержень постоянного сечения принимается за отдельный конечный элемент (рис.7.12).

Решение в этом случае получается точным. Иначе обстоит

дело при динамическом расчете стержневых систем и решении задач устойчивости. Здесь обычная расчетная схема может дать очень грубый результат. Для уточнения решения стержень делят на несколько элементов.

При разбиении произвольной двухмерной области на элементы обычно используют треугольники или четырехугольники (рис.7.13). Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала область разбивают на достаточно крупные подобласти (подконструкции) – треугольные и четырехугольные, которые затем подразделяются на более мелкие треугольные или четырехугольные элементы. Элементы, близкие по форме к равностороннему треугольнику, приводят к более точным результатам, чем вытянутые по форме треугольные элементы.

При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели.

Поэтому более желательными для трехмерных моделей являются четырехгранные элементы (параллелепипеды).

226

Метод конечных элементов

Границы между подобластями должны проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала. Разбиение области на элементы обычно начинают от

ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Если границы области криволинейные, то криволинейные границы элементов чаще всего заменяются прямыми отрезками. Затем производится разбиение внутренних областей.

Равномерное разбиение, когда все элементы имеют одинаковые форму и размеры, применяется крайне редко, потому что существуют концентрация напряжений, температурные градиенты и т.п., где проводится более мелкая разбивка на конечные элементы.

G Но при этом следует помнить, что увеличение числа узлов, а не элементов, повышает точность расчета.

Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать. Возможность варьировать размеры элементов – важное достоинство МКЭ. При этом приходится сталкиваться с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие

соображения об окончательных значениях искомых параметров для того, чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться

(большие величины градиентов), и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью. Навыки в дискретизации области обычно приходят с опытом.

Вблизи особых точек, таких, где имеется резкая концентрация напряжений (места стыков, приложения сосредоточенных нагрузок и т.п.), применение конечных элементов (равно как и других методов дискретизации) обычно затруднено, особенно в представлении поля напряжений. Приходится резко

227

Метод конечных элементов

сгущать сетку конечных элементов и существенно увеличивать размер задачи. Однако это сгущение сетки может и не привести к результату. Это подталкивает к дополнительному анализу ситуации

иуточнению расчетной схемы [16, 34].

Всовременных профессиональных конечно-элементных

программных комплексах разбивка на конечные элементы чаще всего производится автоматически, но учесть все особенности

работы конструкции при создании расчетной модели конструкции должен исследователь.

7.2.5 Нумерация узлов и элементов

Нумерация узлов элементов (глобальная нумерация) – следующая процедура этапа выделения конечных элементов.

Порядок нумерации узлов имеет в данном случае существенное значение, так как именно он влияет на эффективность последующих вычислений.

Как отмечалось выше, использование метода конечных

элементов приводит к разрешающей системе линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой

получается сильно разреженной и имеет ленточную структуру

(рис.7.14).

Рис.7.14. Матрица ленточной структуры

228

Метод конечных элементов

Ширина ленты зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. Под числом степеней свободы

понимают количество неизвестных параметров, определяемых в каждом узле.

n Например, произвольная пространственная конструкция в

каждом узле имеет шесть степеней свободы (три линейных перемещения

итри угловых). При расчете плоской стержневой системы (рамы, балки) в каждом узле определяют три неизвестных (два линейных перемещения

иугол поворота), т.е., число степеней свободы в узле такой конструкции

равно трем. Плоская ферма или балка-стенка (пластина, нагруженная в своей плоскости) в каждом узле имеет две степени свободы (например,

перемещения вдоль осей Х и У), а пространственная ферма – три

(перемещения вдоль осей Х, У и Z). При решении двухмерных задач гидравлики в каждом узле определяют три параметра (давление и составляющие скорости по осям Х и У).

При нумерации узлов предпочтителен способ,

обеспечивающий минимальную разность между номерами узлов в каждом отдельном элементе.

Если максимальную разность между номерами узлов для отдельного конечного элемента обозначить R , а число степеней свободы в узле — Q , то ширина ленты L вычисляется по формуле

L = (R +1)Q .

Чем меньше ширина ленты L, тем меньший объем ОП

требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ на ЭВМ и тем меньше затраты машинного времени на решение разрешающей системы уравнений.

В некоторых случаях уменьшение числа L может быть

достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области.

На рис.7.15 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы.

229

б

Рис. 7.15. Способы нумерации узлов

Таким образом, рациональная нумерация во втором случае (см. рис.7.15,б) сокращает необходимый объем оперативной

памяти почти в три раза по сравнению с первым случаем

(рис.7.15а).

Нумерация элементов представляет собой простую процедуру. Она не влияет на вычислительные аспекты задачи, поэтому выполняется произвольно.

При описании области, разбитой на конечные элементы,

обычно задаются: тип конечного элемента; его порядковый номер; номера узлов элемента; координаты узлов; информация о соединении элементов между собой; значения физических параметров объекта в пределах каждого конечного элемента. Эта

информация является исходной для всех следующих этапов реализации МКЭ. Такого рода информация называется топологической и обычно содержит примерно в 6 раз больше чисел, чем количество узлов системы.

230

Метод конечных элементов

В практических задачах область определения искомой функции обычно разбивается на несколько сотен или тысяч элементов примерно с таким же количеством узлов. Нумерация

узлов и конечных элементов в современных программных комплексах чаще всего автоматизирована и предусмотрена оптимизация ширины ленты разрешающей системы уравнений.

7.3. Основные соотношения МКЭ

7.3.1.Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости

Для иллюстрации основных соотношений вариационного метода конечных элементов рассмотрим задачу, связанную с уравнением Пуассона для двухмерного случая.

Для определенности пусть это будет плоская задача теории упругости, к которой можно отнести расчет напряженно – деформированного состояния таких строительных конструкций, как стеновые панели, протяженные плотины, балки – стенки и т.д.

Исторически именно при решении плоской задачи теории упругости впервые были использованы идеи метода конечных элементов в их явном виде, и именно в данном случае метод раскрывает все свои возможности.

Пусть область Ω с границей S разбита на конечные элементы

(e) – треугольные или (и) четырехугольные (рис.7.16).

Рис. 7.16. Разбиение области на конечные элементы

231

Метод конечных элементов

Получаемое в дальнейшем решение будет относиться к области, состоящей из совокупности конечных элементов е1, е2,…,

еk .

Задачу будем решать в перемещениях.

Краевая задача

в методе конечных элементов заменяется вариационной задачей в виде начала возможных перемещений. (Краевые условия при этом могут быть и другими).

Мы будем минимизировать функционал (7.3), используя множество функций, каждая из которых определена на отдельном элементе и выражена через узловые параметры.

Как и в методе Ритца, решение будем искать в виде линейной комбинации некоторых функций, но для каждого конечного элемента:

вертикальное перемещения точки внутри элемента;

αi – неизвестные коэффициенты (как в методе Ритца – неизвестные параметры);

232