Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Метод конечных элементов

где N(е) – матрица-строка, элементы которой в специальной литературе по методу конечных элементов [26, 34] называют функциями формы конечного элемента.

Функции формы можно вычислить в каждой точке конечного элемента через координаты самой точки и координаты узлов элемента.

Определение аппроксимирующей функции элемента можно выполнить один раз для типичного элемента области, безотносительно к его топологическому положению в ней.

Полученная функция используется далее для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ей элементы с однажды определенными

функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующих программных комплексов. Далее эти элементы применяются для решения разнообразных краевых задач.

Составление разрешающих уравнений

Разрешающие уравнения МКЭ составляют для нахождения

узловых значений искомой функции.

Для получения этих уравнений чаще всего используется метод, основанный на вариационной постановке задачи. Этот метод

требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом задачи. Подбор функционала является нетривиальной процедурой, требующей глубоких знаний в конкретной предметной области. Некоторые из этих функционалов приведены в главе 6. Например:

§В задачах строительной механики и теории упругости, если

задача решается в перемещениях и на границе области заданы их значения, то минимизируется потенциальная энергия системы (6.82).

§При решении задачи распределения тепла минимизируется функционал (6.81), связанный с соответствующей краевой задачей.

213

Метод конечных элементов

Процесс минимизации функционала приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции, которая и представляет собой

разрешающие уравнения МКЭ.

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений, полученная в процессе минимизации функционала, обладает положительно определенной симметричной матрицей ленточной структуры, для численного решения которой обычно используется методы:

блочного исключения Гаусса, Холецкого, LDLT-факторизации и

др. [13, 14, 26]. А для уточнения полученного решения –

итерационные методы.

Из решения этой системы определяют значения неизвестных узловых значений искомой функции, т.е. получают приближенное решение краевой задачи.

Вычисления, проводимые с помощью МКЭ, весьма громоздки для ручного счета, даже в случае решения очень простых задач.

7.2.Дискретизация области

7.2.1.Классификация конечных элементов

Конечные элементы можно классифицировать по нескольким признакам.

§ наиболее очевидная классификация элементов – по их

геометрической форме: одномерные, двухмерные и трехмерные.

Одномерный конечный элемент

Простейшим среди элементов является одномерный элемент. Схематично он обычно изображается в виде отрезка (рис.7.2), хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется при расчете стержневых систем (рам, ферм, арок), в одномерных задачах распространения тепла и т.п.

214

Метод конечных элементов

Простейший элемент имеет два узла, по одному на каждом конце – линейный

аэлемент (рис.7.2,а).

Используют элементы и более высокого порядка: трехузловой – квадратичный

б(рис.7.2,б), четырехузловой –

кубический (рис.7.2,в).

Двухмерные конечные элементы.

Для построения дискретной модели двухмерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники.

Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис.7.3,а,б). Толщина элемента

аб может быть постоянной или являться функцией координат.

Квадратичные (7.3 в) и кубические (7.3

вг) элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те и другие. Возможность

моделирования криволинейных границ

гдостигается добавлением узлов в середину сторон элементов.

Разные элементы (7.3 д) могут быть

215

Метод конечных элементов

Трехмерные конечные элементы.

Наиболее часто используемыми трехмерными элементами являются параллелепипед и тетраэдр (рис. 7.4, а и б). В обоих

случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого

порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности (рис.7.4.в).

Рис. 7.4. Некоторые трехмерные конечные элементы.

G Под «конечным элементом» принято понимать не просто малую область тела, а область тела в совокупности с заданными в ней аппроксимирующими функциями.

Выше отмечалось, что в качестве аппроксимирующих функций элементов чаще всего используются полиномы.

На выбор вида этих функций влияет множество факторов, а

именно: геометрическая форма элемента; число узлов в элементе; число неизвестных параметров в узле (число степеней свободы узла).

Одномерные, двухмерные и трехмерные элементы в зависимости от степени используемого интерполяционного полинома называются симплекс-, комплексили мультиплексэлементами.

Полиномы симплекс-элементов содержат константы и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного пространства.

216

апредставляет собой симплексную функцию для одномерного линейного

элемента (рис.7.5,а).

представляет симплексную функцию для

бдвухмерного треугольного элемента

(рис.7.5,б). Он линеен по х и у и содержит три коэффициента, т.к. треугольник имеет 3 узла.

Главное отличие комплекс-элемента состоит в том что в нем, как правило, кроме граничных имеются дополнительные внутренние узлы. Число узлов больше величины размерности координатного пространства плюс единица.

бϕ =α1 +α2x +α3y +α4x2 +α5xy+α6 y2 . (7.7)

217

Метод конечных элементов

Для мультиплекс-элементов также используются полиномы, содержащие члены высокого порядка, но границы элементов при этом должны быть параллельны координатным осям, что

необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому. Прямоугольный элемент (рис.7.7) – пример мультиплекс-элемента.

Мультиплекс-элементы:

Рис.7.7. Мультиплекс-элемент

Комплекс- и мультиплекс-элементы обычно применяются в тех задачах, где имеют место градиенты искомых величин, причем в мультиплекс-элементах градиенты искомых величин меняются линейно вдоль одного из координатных направлений.

Прежде чем рассмотреть другие виды конечных элементов, рассмотрим, как определяются коэффициенты интерполяционных полиномов (или аппроксимирующих функций).

7.2.2. Определение аппроксимирующей функции элемента

Определить аппроксимирующую функцию элемента – это значит найти ее коэффициенты. Аппроксимирующая функция

должна быть согласована с соответствующим элементом таким образом, чтобы ее коэффициенты αi определялись однозначно.

Для получения этих коэффициентов в отдельном элементе применимы два подхода: в одном из них используются

обобщенные координаты, а в другом – интерполяционные формулы. Первый подход удобен для простых элементов, использующих полные полиномы невысокого порядка. Второй – в случае более сложных элементов.

218

Метод конечных элементов

Определение коэффициентов интерполяционного полинома рассмотрим на примере одномерного и двухмерного симплекс- элементов, используя первый подход.

Одномерный симплекс-элемент

Одномерный симплекс-элемент представляет собой отрезок, изображенный на рис. 7.8. По длине отрезка значение

функции ϕ аппроксимируется полиномом

Буква ϕ обычно используется для обозначения произвольной скалярной величины. В задачах определения

перемещений или температуры вместо ϕ чаще используют буквы u и t соответственно.

быть определены в соответствии с условием непрерывности функции в узлах:

219

Метод конечных элементов

Подставляя найденные значения a1 и a2 в формулу (7.9), получаем для j выражение

Функции формы обладают следующим свойством: функция Ni равна 1 в узле с номером i и равна 0 в j-м узле. Аналогично функция Nj равна 0 в i -м узле и равна 1 в узле с номером j.

Графически это представлено на рис.7.9.

Рис.7.9 Функции формы

Двухмерный треугольный симплекс-элемент

Двухмерный треугольный симплекс-элемент представляет

собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами

220

Метод конечных элементов

Как и в случае одномерного элемента, используя условия непрерывности искомой функции в узлах, составим систему

уравнений

Подстановка этих условий в формулу (7.14) приводит к

системе уравнений

Используя тригонометрию, легко установить, что этот

221

Метод конечных элементов

Решая (7.15), получим:

Следует отметить следующие свойства треугольного элемента:

222