Численные методы решения дифференциальных уравнений
Построение первой итерации Последовательность действий
1. Подготовим таблицу, как это показано на рис. 6.24. Введем значения исходных данных: a, b, α0 , α1 , A, β0 , β1, B , n. Примем
первоначальное количество разбивок n=4.
2. Вычислим шаг разностной сетки h=(b-a)/n в ячейке В5.
Рис.6.24. Схема решения краевой задачи (первая итерация, h=0,25)
3.Номер узла i введем с помощью автозаполнения в столбец
Атаблицы.
4.Значения узлов разностной сетки определим по формуле
xi=a+h*i, (i=0,1, ,n). Для этого в ячейку В8 введем формулу: =$B$3+$B$5*A8 и скопируем ее вниз до конца таблицы (до х=1).
5.В столбцах C, D таблицы вычислим значения функций
p(x) = 0, q(x) =1+ x 2 |
в узлах сетки xi, i=1,2,.n-1 (для i=1,2,3). |
После этого приступим к формированию разностной СЛАУ
(6.57).
Численные методы решения дифференциальных уравнений
6.В столбцах Е, F, G таблицы вычислим значения
коэффициентов аi вi , сi по формулам (6.58-6.59), как это показано на рис. 6.22.
7.В столбце Н таблицы сформируем вектор правой части СЛАУ, вектор D (6.61).
Таким образом, разностная система (6.57) сформирована и можно приступать к ее решению методом прогонки, алгоритм которой приведен в подразделе 2.2.3.
8.Прямой ход начинаем c вычисления значений U0, и V0 по формулам (2.14) в ячейках J8 и K8.
9.Значения L1, U1 и V1 вычислим в ячейках I9, J9 и K9 по рекуррентным формулам (2.15) и скопируем их вниз для i=2,3,..n-1 (т.е. для i=2,3). На этом прямой ход метода прогонки закончен.
10.Обратный ход прогонки. Значение неизвестного yn (n=4) вычислим в ячейке L12 по формуле (2.17).
11.Остальные значения yi, i=0,1,2,3 вычислим по формуле (2.13). Для этого в ячейку L11 введем формулу =J11*L12+K11 и скопируем ее вверх.
Полученное решение Y {0.000, 0.319, 0.554, 0.683, 0.683}
можно принять за первую итерацию (первое приближение) решения исходной задачи.
Построение второй итерации
Для выполнения второй итерации сделаем сетку вдвое гуще (n=8, шаг h=0,125) и повторим приведенный выше алгоритм.
Это можно проделать на этом же листе книги Excel. Однако, если необходимо графически сравнить два приближения, то вторую итерацию надо построить на другом листе книги Excel.
Последовательность действий.
1.Сделаем копию листа Excel (рис.6.24) для n=4 на новый
лист.
2.В ячейку В2 введем число разбивок n=8.
Численные методы решения дифференциальных уравнений
3.Выделим блок ячеек А11:К11 и скопируем их вниз до 7-го узла, т.е. до х=0,88 (рис.6.25).
4.Вычислим значения an, bn , dn (n=8) в ячейках Е16, F16, H16
всоответствии с формулами (6.59) и (6.61). Таким образом, будет выполнен прямой ход метода прогонки.
5.Обратный ход придется проделать заново по аналогии с
первым приближением, т.е. вычислим у8 в ячейке L16 по формуле (2.17), затем в ячейке L15 вычислим у7 по формуле (2.13) и скопируем ее вверх. Второе приближение исходной краевой задачи с шагом h=0,125 приведено на рис.6.23:
Y {0.000, 0.209, 0.400, 0.588, 0.710, 0.823, 0.902, 0.944, 0.944}.
Рис. 6.25. Краевая задача (вторая итерация)
Сравнение двух сеточных функций показывает, что их расхождение в одинаковых узлах составляет более 5%. Поэтому необходимо продолжить итерационный процесс для n=16, т.е. для h/4=0,0625.
6. Повторив описанный выше алгоритм для h/4=0,0625, получим новое приближение (рис.6.26).
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Рис. 6.26. Результаты 3-й итерации
Сравним полученные приближения. Для наглядности можно построить графики этих двух приближений (двух сеточных функций) (рис.6.27).
Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
Данные для построения графиков двух приближений (итераций) находятся на двух листах книги Excel и приведены для двух разностных сеток Ω10 и Ω5 (h=0,125 и h=0,25).
1.Активизируем уже построенный график и выберем команду меню Диаграмма\Добавить данные
2.В окне Новые данные укажем данные xi, yi cо второго листа для разностной сетки с шагом h/2 (n=8).
3.В окне Специальная вставка установим флажки в полях:
Øновые ряды,
Øкатегории (значение оси х) в первом столбце.
4.Аналогично строится третий график сеточной функции для h/4=0,0625 (рис. 6.27).
Численные методы решения дифференциальных уравнений |
y |
|
|
|
|
|
|
1,20 |
|
|
|
|
|
|
0,80 |
|
|
|
|
|
|
0,40 |
|
|
Y i(h) |
|
|
|
|
|
|
Y i(h/2) |
|
|
|
|
|
|
Y i(h/4) |
|
|
x |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
1,2 |
Рис. 6.27. Сравнение результатов трех итераций
Как видно из приведенных графиков (см. рис.6.27), итерационный процесс является сходящимся, но решение следует
продолжить и построить следующее приближенное решение для n=32.
Метод конечных элементов
Глава 7. Метод конечных элементов
«От расчетчика – пользователя программными комплексами, интересующегося напряженно- деформированным состоянием, не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются
задачи и что представляют собой численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать
расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов»
Л.А. Розин [31]
Метод конечных элементов (МКЭ) появился в строительной механике в 1950-х годах, когда появились большие ЭВМ, и в дальнейшем развивался весьма интенсивно. В настоящее время
этот метод является одним из наиболее эффективных методов решения краевых задач, область применения его очень обширна и охватывает практически все физические задачи, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями, как обыкновенными, так и в частных производных (см. главу 6).
Это задачи механики деформируемого твердого тела, к
которым относятся:
Øзадачи теории упругости,
Øзадачи теории пластин и оболочек,
Øзадачи строительной механики стержневых систем,
Øанализ упругопластического и вязкоупругого поведения материалов,
Øдинамические задачи,
Это стационарные и нестационарные задачи теории поля:
Øзадачи распространения тепла,
Øзадачи течения жидкости.
Многие этапы МКЭ являются общими для большинства областей приложения, что позволяет составлять достаточно общие программы.
МКЭ можно применять к расчету конструкций, составленных из нескольких материалов. Размеры области, границы и нагрузки
при этом могут быть любыми.
208
Метод конечных элементов
В настоящее время существует большое разнообразие в формулировках МКЭ (метод Галеркина, метод наименьших квадратов, метод глобального баланса и др.[26]). Классический подход – вариационная формулировка метода, в соответствии с которой минимизируется функционал, связанный с физическим смыслом решаемой задачи, и тогда МКЭ можно рассматривать как один из вариантов метода Ритца, в котором используются
специфические локальные координатные функции .
7.1.Основные положения МКЭ
Вобщем случае алгоритм МКЭ состоит из следующих этапов.
1.Построение расчетной модели для анализа конструкции или физического явления.
2.Разбиение системы на элементы (дискретизация области).
3.Аппроксимация искомой функции на каждом конечном элементе полиномом.
4.Составление разрешающих уравнений МКЭ.
5.Решение системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений искомой функции.
Построение расчетной модели
Расчетный анализ любой конструкции начинается с построения ее расчетной схемы, встречающейся в учебниках по строительной механике и сопротивлению материалов [11, 35], т.е. с попытки установить, что именно в рассматриваемом случае является существенным, а чем можно пренебречь.
При создании расчетной схемы отображается геометрия системы, условия закрепления, принимается решение о том, какой расчет будет выполняться: линейный или нелинейный; одномерный, плоский или пространственный; следует ли учитывать силы
инерции и выполнять динамический расчет или можно ограничиться статическим анализом.
Метод конечных элементов
После того как расчетная схема установлена, наступает период ее детального описания в форме, пригодной для выполнения расчетного анализа. МКЭ требует дискретизации расчетной схемы. В связи с этим в дополнение к общепринятому
содержанию понятия расчетной схемы введем понятие расчетной модели системы
Расчетной моделью системы (сооружения) будем называть совокупность отдельных конструктивных элементов,
соединенных конечным числом шарнирных и жестких узлов и нагруженных внешней нагрузкой (это могут быть силы, перемещения, температура и др.).
Это определение полностью соответствует расчетной схеме стержневых систем. Для более сложных конструктивных элементов (пластины, оболочки, массивные тела) оно также подходит, только при этом усложняются исходные матрицы, определяющие упругие свойства элементов.
При создании расчетной модели реальной конструкции необходимо тщательно следить за тем, какие внутренние усилия
могут возникать в применяемых конечных элементах и как эти
усилия согласуются друг с другом в общих узлах
Такие проблемы чаще всего возникают в местах сопряжения конструктивных элементов, имеющих разную размерность, например, при сопряжении одномерных стержней с двухмерными пластинами или с трехмерными с массивами и т.п.
n В качестве примера рассмотрим конструкцию (рис.7.1) [48], в
которой в месте примыкания ригеля к массивной стене при действии на ригель вертикальных и горизонтальных нагрузок, должен возникать
изгибающий момент. Моделируя ригель стержневым элементом
(каждый узел которого имеет 3 степени свободы), а стену – плоскими элементами «балки-стенки» (узлы которой имеют по 2 степени свободы), момент в ригеле в месте примыкания будет отсутствовать (рис.7.1,а).
Для учета момента в точке примыкания необходимо запретить угловое перемещение путем наложения соответствующей связи. Это соответствует предположению о том, что изгибная жесткость балки- стенки на несколько порядков превышает изгибную жесткость ригеля.
Метод конечных элементов
|
Рис. 7.1. Результаты расчета: |
|
а – до введения связей; |
|
б – после введения |
б |
связей; |
в – фрагмент уточненной |
|
схемы |
Конечно, введение защемления моделирует работу системы не очень точно. Более корректным было бы другое изменение расчетной схемы, при котором ригель продлевался бы далее, заходил на балку- стенку на один ряд конечных элементов и крепился не в одном, а в двух узлах (рис.7.1,в). Такое решение в большей мере соответствует конструкции здания, в которой ригель заводится внутрь стенки для опирания.
Общим правилом следует считать следующее: если какое либо усилие (например, момент) не воспринимается конечным элементом, то такой элемент по отношению к указанному усилию примыкает к узлу «шарнирно».
Разбиение области на конечные элементы
Разбиение области на конечные элементы – важный этап в МКЭ, и от качества разбиения во многом зависит точность получаемых результатов. Область Ω, занимаемая телом, с границей S (S=S1+S2) разбивается на конечные элементы (e), соприкасающиеся между собой так, чтобы образовывалось все тело. Все конечные элементы считаются соединенными между
Метод конечных элементов
собой только в узлах расчетной схемы и граничат друг с другом без зазоров и наложений.
Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы конечных элементов, которые используются для построения дискретной модели реального тела, а также нумерацию узлов и нумерацию конечных элементов.
Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки.
Для двухмерных областей наиболее часто используются элементы в форме треугольников и четырехугольников, причем внутри области они могут быть использованы одновременно. Элементы могут иметь как прямо-, так и криволинейные границы,
что позволяет с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы.
Для трехмерных областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра и параллелепипеда, которые также могут иметь прямолинейные и криволинейные границы.
Аппроксимация искомой функции
Непрерывная функция, определяемая в каждой конкретной задаче (перемещение, температура и т.п.), может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей используются полиномы, которые подбираются так, чтобы
обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов. Например, значение непрерывной функции ϕ(е) в произвольной точке е-го конечного элемента можно
аппроксимировать полиномом
ϕ(е) = А(е) R + A |
(7.1) |
0 |
|
где A(е) – вектор-строка коэффициентов полинома; А0 – свободный член; R = R(x, y, z) – вектор координат в рассматриваемой точке.
Задача данного этапа далее заключается в определении неизвестного вектора A(е) и свободного члена А0. Для этого, используя условие непрерывности функции в узлах, коэффициенты
полинома выражают через вектор узловых значений функции Φ(е) и
координаты узлов, в результате чего получают
аппроксимирующую функцию в виде
