Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Численные методы решения дифференциальных уравнений

экстремум, то эта же функция должна являться решением

дифференциального уравнения Эйлера – Пуассона:

Это дифференциальное уравнение порядка 2n. Его

интегральные кривые называются экстремалями рассмотренной вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2n произвольных постоянных, которые могут быть определены из 2n граничных условий.

Таким образом, существует связь между нахождением экстремума функционала и решением дифференциального уравнения.

Причем во многих практических задачах функционал,

связанный с краевой задачей имеет вполне определенный физический смысл. Так, в задачах механики деформируемого тела функционал представляет собой потенциальную энергию системы.

n Для иллюстрации рассмотрим простую

задачу об изгибе балки (рис.6.17).

можно определить из граничных условий. Для балки с шарнирными концами эти условия будут следующими:

193

Численные методы решения дифференциальных уравнений

дифференциальное уравнение изгиба балки, совпадающее с (6.78).

GСледовательно, решить краевую задачу – это то же самое, что найти экстремум функционала, связанного с этой задачей.

GСправедливо и обратное утверждение: найти экстремаль

функционала – это то же самое, что решить краевую задачу, связанную с этим функционалом.

194

Численные методы решения дифференциальных уравнений

где полная граница S состоит из суммы S1+S2;

lx, ly, lz – направляющие косинусы единичной внешней нормали n к границе S ,

функционал, связанный с этой краевой задачей, имеет вид

В вариационной формулировке граничные условия условно подразделяются на главные и естественные.

Граничные условия Дирихле являются главными граничными условиями и должны быть учтены при конструировании области определения функционала. Граничные условия Коши (или Неймана) являются естественными граничными условиями и в решении удовлетворяются автоматически.

2. Для краевой задачи (6.8), описывающей деформированное состояние элементов произвольной стержневой системы,

функционал, – потенциальная энергия системы имеет вид

3. Для краевой задачи Дирихле (например, для плоской задачи теории упругости)

¶2j + ¶2j = 0 , ¶x2 ¶y2

ϕS = f (x, y)

функционал имеет вид

195

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Метод Ритца служит для приближенного решения вариационной задачи, т.е. задачи отыскания экстремума некоторого функционала, которой мы всегда можем заменить краевую задачу.

Идея метода Ритца заключается в том, что искомую функцию y(x) , доставляющую экстремум функционалу, представляют в виде линейной комбинации функций ϕi(x):

n

y(x) = åaiji (x) = a1j(x)1 + a2j2 (x) + ...+ anjn (x) . (6.85)

i=1

Число n зависит от требуемой точности.

Здесь ji(x) – координатные функции, выбираемые вполне определенным образом, а именно: так, чтобы функция y(x) удовлетворяла граничным условиям задачи (или хотя бы части из них). Точность решения в большой степени зависит от удачного подбора этих функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Подбор этих функций требует определенного навыка.

Для линейных задач чаще всего применяют полиномы или

тригонометрические функции.

ai – неизвестные параметры, которые находятся из решения задачи.

Подставляем решение (6.85) в функционал (6.84). После интегрирования и подстановки пределов он становится функцией, зависящей от параметров ai.:

196

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Необходимым условием того, чтобы эта функция принимала экстремальное значение относительно параметров ai, является

система соотношений

Эти соотношения представляют собой систему n линейных

алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров ai . Решая эту систему, находят значения ai, после чего решение вариационной задачи, а следовательно, и краевой дается формулой

(6.85).

Рассмотрим применение метода Ритца на примере изгиба стержня постоянного сечения под действием равномерной нагрузки q (рис.6.18).

nПример 6.13. Запишем выражение полной потенциальной

энергии изгибаемой балки (функционал):

n

y(x) = åaiϕi (x) .

i=1

(6.89)

Координатные функции ϕi(x) в рассматриваемом примере должны удовлетворять всем или части граничных условий, например, yi (0) = 0 и

197

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Дифференцируя П по а1 и а2 получаем систему уравнений

198

Численные методы решения дифференциальных уравнений

6.6. Решение дифференциальных уравнений с использованием электронных таблиц Microsoft Excel

6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера

методом Эйлера для двух разностных сеток с шагом h=0,2 и h=0,1.

Сравнить полученные результаты с известным точным решением y = ex2 . Проанализировать полученные приближенные решения,

сравнить их с имеющимся точным решением и сделать вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса.

199

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Порядок решения

1.Задаем значения шага h, х0 и у0. Вычисляем значение аргумента xi=x0+ih при (i=1,2,…,n).

2.Последовательно вычисляем приближенные значения yi

решения y(xi) по формуле: yi+1 = yi + hf (xi , yi ) , ( i=0,1,…n). Схемы решения для h=0,2 и h=0,1 приведены на рис.6.19.

Рис.6.19. Схемы решения задачи Коши

Для сравнения полученных результатов построим графики приближенных решений и график точного решения задачи Коши

(6.99), (рис.6.20, 6.21).

Анализ полученных двух приближений показывает, что расхождение их в точке х=1 составляет более 13%, поэтому необходимо строить следующую итерацию для шага h=0,05.

Рис.6.20. Сравнение приближенных решений задачи Коши с точным решением

200