Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Введение

Погрешность метода надо выбирать так, чтобы она была в 2 – 5 раз меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность. Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

∙ Погрешность округлений возникает при выполнении арифметических действях над числами, так как ЭВМ оперирует с числами, имеющими конечное число значащих цифр.

Все эти погрешности в сумме составляют полную погрешность результата решения задачи.

Поскольку первые два типа погрешности не зависят от вычислителя, то нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода должна подчиняться погрешности задачи. Погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода [9].

Рассмотрим некоторые подходы к учету погрешностей действий.

Пусть А и а – два «близких» числа. Условимся считать А точным,

а приближенным значением. Назовем абсолютной

погрешностью приближенного числа а выражение

Величина а может быть, например, ценой деления

измерительного прибора или оценкой величины ошибки округления числа А.

Величина абсолютной погрешности мало что говорит о действительной точности измерения. Например, если длина балки может быть измерена с точностью а=1 мм, то измерение толщины оконного стекла с такой же точностью недопустимо.

Поэтому удобней пользоваться величиной относительной погрешности

13

Введение

Относительная погрешность – безразмерная величина, ее часто определяют в процентах:

Абсолютную и относительную погрешности принято округлять в большую сторону.

При выполнении арифметических операций сложения (вычитания) складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении – относительные погрешности [9, 12].

Точность, устойчивость и сходимость при численном

решении

Когда выбирается вычислительная процедура (ЧМ),

необходимо оценить наряду с другими ее характеристиками

точность, устойчивость и сходимость.

Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является результатом аппроксимации, округления или других ошибок, которые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное решение вскоре тонет в ошибках.

Сходимость – это постепенное приближение

последовательно вычисляемых решений к предельному по мере того, как уточняются некоторые вычислительные параметры.

Термин «сходимость» применяется как к итерационной процедуре,

в которой некоторые или все результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления, так и к выбору подходящих (аппроксимирующих) функций при описании какого-либо процесса или явления. Таким образом, в сходящейся процедуре разница между

14

Введение

последовательными результатами должна уменьшаться, стремясь в пределе к нулю. Эти три термина иллюстрирует рис.1.

Рис. 1. Точность, устойчивость и сходимость:

• расходящаяся процедура; х – сходящаяся процедура.

Более точные определения можно найти в книгах по численному анализу и методам вычислении [5, 45]. Следует отметить, что желательной является устойчивость каждого вычисления, когда последовательные результаты быстро сходятся к точному решению. Из рис. 1 видно, что по мере уточнения параметров вычислительной процедуры точность растет, если процесс сходится, и падает, если он не сходится.

Решение численных задач с использованием электронных таблиц EXCEL

Электронные таблицы Excel корпорации Microsoft входят в состав пакета Microsoft Office для операционной системы Windows. Возможности Excel весьма многогранны, а их интерфейс удобен, гибок и понятен.

Приложение Microsoft Excel предназначено для выполнения табличных расчетов, характерных для управления и бизнеса.

Однако заложенные в него инструментальные средства позволяют

15

Введение

успешно решать и инженерные задачи (выполнять расчеты по формулам, строить графические зависимости и т.п.), а также он является удобным средством реализации численных методов.

Работа в среде Excel не требует квалификации программиста, а осуществляется непосредственно специалистом, изучающим данную проблему, который совмещает функции постановщика, программиста и конечного пользователя, анализирующего полученные результаты.

Далее мы рассмотрим возможности Excel для реализации численных методов на примерах некоторых практических задач, приведенных в теоретических разделах.

Предполагается, что читатель имеет некоторые навыки работы с приложением MS Excel, представляет, как в ячейки таблицы вводятся текстовая информация, числа, формулы, а также понимает, что такое абсолютный и относительный адрес

ячейки. При необходимости следует обратиться к специальной

литературе по практическому применению электронных таблиц

Microsoft Excel [ 29, 38 ].

Напомним, что формула – это выражение, с помощью которого вычисляется новое значение (результат) по уже существующей информации. Ввод формулы, в принципе, не представляет никаких трудностей, нужно только не забывать

ставить перед записью формулы знак равенства!

GВнимание!

Далее в текстах примеров запись формулы будет начинаться с номера ячейки, в которую будет вписываться формула.

В таблицу же Excel формула вписывается, начиная со знака равенства « = ».

При исполнении формул Excel придерживается

стандартных правил алгебры.

Замечательной особенностью Excel является его способность копировать (или дублировать) формулу в соседние ячейки.

16

Введение

Понятия мастера и надстройки

При решении задач вычислительной математики используются различные мастера и надстройки.

Мастер – это встроенный инструмент Excel, позволяющий составлять формулы, строить диаграммы и сводные таблицы.

Надстройка – это специальное приложение, позволяющее расширить стандартные возможности EXCEL. Любую надстройку можно активизировать и загрузить в память компьютера, а затем, решив с ее помощью задачу, выгрузить из памяти.

Перед решением задач этого класса необходимо активизировать надстройки Поиск решения и Подбор параметра.

Для подключения той или иной надстройки EXCEL необходимо выполнить следующую команду:

меню Сервис\Надстройки

и в появившемся окне активизировать необходимые надстройки.

Для решения задач вычислительной математики Excel

использует итерационные (приближенные) методы,

заключающиеся в построении итерационной последовательности, сходящейся к решению поставленной задачи. Критерием сходимости является близость двух соседних приближений. По умолчанию Excel выполняет до 1000 итераций.

Для изменения точности вычислений следует выбрать команду меню Сервис\Параметры\закладка Вычисления и сделать необходимые установки, т.е. установить необходимую для расчетов точность.

17

Матричное исчисление

Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов

Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения из-за трудоемкости матричных операций при ручном счете.

Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы далее при решении задач не обращаться к специальным руководствам, введем основные понятия, которые в дальнейшем потребуются нам при изучении данного курса.

1.1. Матрицы и векторы. Определения

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (размерность m × n). , обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной

Если m = 1, это матрица-строка;

Две матрицы A = [aij ] и B = [bij ] равны друг другу, если

они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [m×n]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: aij = bij для всех i и j.

18

Матричное исчисление

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его

следующим образом Х или {Х}:

Квадратная матрица, у которой все элементы равны 0, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной:

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается Ат). Очевидно, что (Ат) т=А.

Если элементами матрицы являются матрицы, то такая матрица называется квазиматрицей или блочной матрицей.

Например,

19

Матричное исчисление

Матрица А здесь имеет порядок [4×3].

Матрица называется обратной (обозначается А-1) по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Не всякая матрица имеет обратную. Если матрица имеет обратную, то она является неособенной (невырожденной).

∙столбцы матрицы А линейно независимы;

∙строки матрицы А линейно независимы;

∙равенство A X = 0 , означает, что X = 0 ;

∙определитель матрицы А не равен 0 ( det A ¹ 0 ).

1.2.Матрицы специального вида

Вметодах для численных расчетов обычно рассматривают матрицы, специальная форма которых позволяет легче проводить вычисления.

Матрица, в которой большинство элементов равно нулю,

называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы aij такой матрицы обычно вычисляются по заданным

формулам и их можно не хранить в оперативной памяти машины.

20

Матричное исчисление

Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ленточная матрица – это разреженная матрица, в которой

все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Любая модель, в которой существует локальное воздействие составных частей, будет приводить к ленточной матрице, если

уравнения и неизвестные соответствующим образом пронумерованы. Например, решение краевой задачи методом конечных разностей или вариационными методами – Ритца, конечных элементов – приводит к матрицам такого вида.

Структуру ленточной матрицы можно показать в виде

Ширина ленты

Трехдиагональная матрица – частный случай ленточной матрицы, ширина ленты которой равна 1 (или каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента). Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,

или при определении критических сил способом упругих грузов

[36].

Квадратная матрица называется симметричной, если ее

элементы симметричны относительно главной диагонали,

( aij = a ji ). Многие физические задачи равновесия, строительной механики приводят к симметричным матрицам. С симметричными

21

Матричное исчисление

матрицами часто связывают свойство положительной определенности (все детерминанты – главные миноры – такой

матрицы больше 0 или X T AX > 0 для всех ненулевых векторов

X ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в

которых элементы aij = 0 при всех i и j, кроме i= j.

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.

Треугольные матрицы интересны тем, что решение систем

линейных алгебраических уравнений сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных, начиная с последнего и до первого, – для верхней треугольной матрицы и, начиная с первого и до последнего, – для нижней треугольной матрицы:

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.

Собственные значения треугольной матрицы – суть

диагональные элементы.

22