Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
.pdf
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
Дифференциальные уравнения, содержащие одну или несколько производных, имеют важное значение в практике инженерных расчетов. При разработке новых или реконструкции существующих строительных объектов приходится решать задачи, связанные с исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций, распространения тепла, движения жидкости и др., которые, в конечном счете, сводятся к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, немногие из этих уравнений имеют аналитическое решение, и чтобы их решить, приходится прибегать к разнообразным численным методам.
В зависимости от числа независимых переменных
дифференциальные уравнения делятся на две различные категории:
∙обыкновенные дифференциальные уравнения,
содержащие одну независимую переменную и
∙дифференциальные уравнения в частных производных,
содержащие несколько независимых переменных.
6.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения
врасчетах строительных конструкций.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в
общем виде можно записать
F(x, y, y / ,..., y(n) ) = 0 , |
(6.1) |
здесь n – наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Решение дифференциального уравнения (интегральная кривая) – это функция у=у(х), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество.
153
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение, линейное относительно неизвестной функции у и ее производных, называется линейным дифференциальным уравнением.
Известно [28], что линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет множество решений.
Общее решение такого уравнения можно записать в виде
n |
|
y = ϕ(x,C1 ,C2 ,...,Cn ) = åСi ϕi (x) + ϕ* , |
(6.2) |
i=1
где φi(x) – частные решения однородного уравнения, φ*– частное решение неоднородного уравнения,
С1,С2,…,Сn – произвольные постоянные, определяемые из дополнительных (начальных или краевых) условий.
Приведем примеры некоторых прикладных задач,
описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые встречаются в расчетах строительных конструкций.
n Пример 6.1. Деформированное состояние каждого элемента
произвольной стержневой системы описывается системой дифференциальных уравнений:
Рис.6.1. К расчету стержневой
системы
æ d2w ö// |
|
|
|||
EJç |
|
|
÷ |
+ qw = f (x) , |
(6.3) |
|
|
||||
ç |
dx |
2 ÷ |
|
|
|
è |
ø |
|
|
||
d2u =
dx2 f1(x) ,
здесь w – прогиб стержня (перемещения, перпендикулярные оси);
u – перемещения вдоль оси стержня.
В строительной механике при расчете стержневых систем дифференциальные уравнения не упоминаются, так как при решении обычно представляют интерес частные решения, удовлетворяющие
154
Численные методы решения дифференциальных уравнений
граничным условиям, вид которых известен заранее. Уравнения строительной механики (канонические уравнения метода сил, метода перемещений и др.) составляются для определения произвольных постоянных, которым придается вполне определенный физический смысл: в методе сил постоянные интегрирования – это силы, а в методе
перемещений – перемещения.
n Пример 6.2. Из курса сопротивления материалов известно, что
вертикальный прогиб однородной балки с достаточной степенью точности описывается дифференциальным уравнением 4-го порядка:
Рис.6.2 К задаче об
изгибе балки
[EJ(x) y’’]’’ =q (x), |
(6.4) |
где EJ(x) – жесткость балки при изгибе.
Известно общее решение этого дифференциального уравнения при EJ(x)=Const и постоянной нагрузке q(x) = p:
EI y = |
px4 |
+ c x3 |
+ c x2 |
+ c x + c . |
(6.5) |
|
|
||||||
|
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения произвольных постоянных требуется четыре дополнительных условия.
Очень часто для описания изгиба балки используют
дифференциальное уравнение упругой линии в виде |
|
||||
|
d2 y |
= |
M |
, |
(6.6) |
|
dx2 |
EJ |
|||
|
|
|
|
||
где M – изгибающий момент в сечении балки; EJ – жесткость стержня на изгиб.
6.1.1.Задачи Коши и краевые задачи
Взависимости от вида дополнительных условий различают два основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:
1.Задачи Коши,
2.Краевые задачи.
Если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной х, то такая задача называется задачей с
155
Численные методы решения дифференциальных уравнений
начальными условиями или задачей Коши, а дополнительные условия – начальными условиями.
Задача Коши, которую чаще всего связывают с дифференциальным уравнением первого порядка, формулируется следующим образом:
Найти решение дифференциального |
уравнения |
y/ = f (x, y) , (6.7) |
удовлетворяющее начальному условию |
у(х0)=у0. |
(6.8) |
|
|
|
n Пример 6.3. Задача о свободных колебаниях одномассовой системы может служить примером задачи Коши. Здесь в качестве независимой переменной выступает время.
|
|
d2 y |
+ω2 y = 0 |
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
t=0 y(0)=y0, |
(6.9) |
|
Рис.6.3. К задаче о |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
свободных колебаниях |
|
при t=0 |
dy |
(0) = v . |
|
|
одномассовой системы |
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В начальный момент времени перемещение и скорость равны y0 и v0 соответственно.
Здесь ω – частота собственных колебаний.
Если дополнительные условия задаются при двух и более значениях независимой переменной х, то такая задача называется краевой задачей, а дополнительные условия – краевыми или
граничными условиями.
Краевую задачу можно сформулировать так:
Найти функцию y=y(x), которая внутри отрезка [a, b] удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
F(x, y, y', y'' ) = 0 , |
(6.10) |
а на концах отрезка – краевым условиям |
|
ϕ [y(a), y ' (a)] = 0, |
|
1 |
|
ϕ2 [y(b), y' (b)] = 0. . |
(6.11) |
156
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Если краевая задача линейна относительно неизвестной функции y=y(x) и всех ее производных, то такая задача называется
линейной краевой задачей.
Очевидно, что краевые задачи возможны для уравнений порядка не ниже второго.
В качестве дополнительных условий в задачах строительной механики стержневых систем обычно используются условия закрепления концов стержня, например:
Жесткая заделка |
Прогиб у и угол поворота φ= y/ равны нулю: |
|
y=0; y/=0; |
Шарнирное опирание |
Прогиб у и изгибающий момент M = EJ(x) y// |
|
равны нулю: y=0; y//=0; |
Свободный конец |
Изгибающий момент и поперечная сила |
|
Q=[EJ(x) y//] / равны нулю: y//=0; y///=0. |
Возможны и другие более сложные случаи закрепления.
n Пример 6.4. Примером краевой задачи может служить задача об изгибе балки (пример 6.2) при условии, что один конец этой балки шарнирно закреплен (при х = 0), а другой – жестко заделан (при x = L) (рис.6.2). Краевые условия в этом случае задаваемые при разных значениях х имеют вид:
y(0) = 0, |
y”(0) = 0, |
(6.12) |
y(L) =0, |
y’(L) = 0 |
|
Таким образом, система уравнений (6.4), (6.12) описывает краевую задачу.
n Пример 6.5. Еще один пример краевой задачи - об устойчивости стержня.
Уравнение устойчивости стержня постоянного сечения под действием сжимающей силы можно записать в виде
d 4 y |
+ |
P |
|
d 2 y |
= 0 |
(6.13) |
dx4 |
EJ |
|
dx 2 |
|||
|
|
|
|
157
Численные методы решения дифференциальных уравнений
или y/ V + k2 y// |
= 0 , |
|
|
|
||
здесь k2 = |
P |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
EJ |
|
|
|
|
|
Р – сжимающая сила, |
|
|
|
|||
Е – модуль упругости материала, |
Рис.6.4. К расчету |
|
||||
J – момент инерции сечения. |
устойчивости стержня |
|
||||
Краевые условия для стержня с |
|
|
||||
|
|
|||||
шарнирными концами запишутся: |
|
|
||||
при х=0 |
y(0)=0; |
y//(0)=0; |
(6.13 а) |
|||
при х=L |
y(L)=0; |
y//(L)=0. |
(6.13 б) |
|||
n Пример 6.6. Краевая задача расчета одномерного температурного поля в однородном стержне длиной L. Один конец стержня жестко закреплен и к нему подводится тепловой поток q заданной интенсивности.
На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена α , коэффициент
теплопроводности материала стержня λх и температура окружающей среды Т*. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности:
λx |
d 2T |
= 0 . |
(6.14) |
|
dx 2 |
||||
|
|
|
Краевые условия определяются уравнениями:
λx |
dT |
+ q = 0 при х=0, |
(6.14 а) |
Рис.6.5. Однородный |
|
стержень под действием |
|||
dx |
||||
|
dT |
|
|
теплового потока |
λx |
+α(T −T*) = 0 при х= L. |
(6.14 б) |
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые
задачи решаются в основном одними и теми же численными методами, что оправдывает их объединение в один тип.
158
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Для одной и той же механической задачи можно сформулировать как задачу Коши, так и краевую задачу.
n Например, задачу о свободных колебаниях одномассовой системы (6.9) можно представить и как краевую задачу. В этом случае одно из дополнительных условий будет состоять в задании,
например, перемещения по истечении некоторого промежутка времени:
при t = t1 |
y(t1)=y1. |
Для уравнений и систем высокого порядка (n > 2), где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий могут быть более разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть дополнительных условий задана на внутренних точках отрезка [a,b,] или промежутка времени. Их нередко называют внутренними краевыми условиями. Сами
дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках) [26, 34].
6.2. Дифференциальные уравнения в частных производных в расчетах строительных объектов
Дифференциальные уравнения в частных производных составляют в настоящее время одно из наиболее быстро развивающихся направлений численного анализа. Проектирование
многих технических объектов связано с необходимостью анализа прочности и разнообразных физических процессов,
математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных производных.
6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
Дифференциальные уравнения с частными производными представляет собой дифференциальные уравнения, в которых
неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.
159
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Решение многих практических задач удается свести к двухмерным задачам, т.е. задачам, зависящим от двух независимых переменных.
В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка в
частных производных с двумя независимыми переменными можно записать в виде [28]:
A(x, y) |
∂2 f |
+ B(x, y) |
∂2 f |
+ C(x, y) |
∂2 f |
+ E(x, y, f , |
∂f |
, |
∂f |
) = 0 |
, (6.15) |
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
∂x |
∂y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где А, В, С, Е – коэффициенты, зависящие только от независимых переменных х и у, а f= f (х,у) –- искомая функция.
Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют в зависимости от их математической природы:
эллиптические, параболические, гиперболические.
Если B2 − 4AC < 0 – уравнение называется эллиптическим.
Если B2 − 4AC = 0 – уравнение называется параболическим.
Если B2 − 4AC > 0 – уравнение называется гиперболическим
Другая классификация уравнений связана с физическими процессами, которые они описывают. Поэтому их называют
уравнениями математической физики:
∙уравнение Лапласа (эллиптического типа)
∂2ϕ |
+ |
∂2ϕ |
= 0 . |
(6.16) |
|
∂x2 |
∂y2 |
||||
|
|
|
К такого вида уравнению приводятся задачи о свойствах установившихся процессов (например, задача о безвихревом течении жидкости, о стационарном распределении тепла в
однородном теле и др.);
∙уравнение теплопроводности (параболического типа)
∂u |
= a2 ∂2u . |
(6.17) |
∂t |
∂x2 |
|
160
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Такими уравнениями описываются, например,
распространении тепла в однородной среде, о жидкостей и газов и т.п.;
∙волновое уравнение (параболического типа)
∂2u |
= |
ρ ∂2u |
. |
||
|
|
|
|||
∂x2 |
E ∂t2 |
||||
|
|
||||
задачи о
фильтрации
(6.18)
К таким уравнениям сводятся задачи динамики, например, задачи о поперечных колебаниях стержня, струны или газа.
Уравнение (6.15) имеет множество решений. Для получения единственного (частного) решения необходимо задать
дополнительные условия путем фиксирования некоторых произвольных "параметров". Но, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, такими "параметрами" в общем решении будут не постоянные интегрирования, а произвольные функции. Число таких функций равно порядку дифференциального уравнения.
В зависимости от вида дополнительных условий решают одну из следующих задач:
задачу Коши, в которой одной из независимых переменных является время. При этом в начальный момент времени задаются
некоторые условия относительно искомой непрерывной функции и ее производных – начальные условия . Граничные условия при этом не задаются, так как задача решается в неограниченном пространстве;
краевую задачу, где решение ищется в некоторой области с определенными границами, на которых и задаются граничные (краевые) условия относительно искомой функции и ее производных;
смешанную (нестационарную) краевую задачу, в которой ставятся как граничные, так и начальные условия.
Наиболее распространенными краевыми условиями в практических задачах являются граничные условия первого,
161
Численные методы решения дифференциальных уравнений
второго и третьего рода, иногда называемые граничными условиями Дирихле, Неймана и Коши соответственно.
В случае граничных условий Дирихле (первого рода) на границе S задаются значения зависимой переменной (искомой функции):
ϕ=ϕ(x, y,z) |
(6.19) |
Примерами граничных условий Дирихле могут быть силы или перемещения, приложенных к поверхности тела или температуры для теплопроводящей среды.
В случае граничных условий Неймана (второго рода) на
границе задается нормальная производная зависимой переменной или значения производных по пространственным координатам от искомой функции, например,
∂ϕ ∂n + p = 0 на S, |
(6.20) |
где р – заданная явно функция точки, а п – нормаль к S.
Граничными условиями Коши (третьего рода) называются условия, в которых зависимая переменная и ее нормальная
производная связаны на границе зависимостью вида
(∂ϕ ∂n)+ p + qϕ = 0 на S, |
(6.21) |
где р и q – известные функции точки на границе S.
Таким образом, рассмотренные граничные условия включают зависимую переменную и (или) ее первую производную.
Таких граничных условий для задачи, описываемой уравнением (6.15), должно быть два: для частей границы S1 и S2. Объединение S1 и S2 образует полную границу.
Исходное дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями (как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений) называется краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта.
Краевые задачи, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, весьма многочисленны и
162