Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Аппроксимация

4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания

Для описания многих технологических процессов используются эмпирические формулы, содержащие два параметра

Пусть заранее известно, что экспериментальные точки

M(xi,yi), i=1,…n, заданные табл. 4.1 не лежат на одной прямой. Для нахождения параметров a, b используется метод выравнивания.

Идея метода. Вводятся новые переменные

так, чтобы преобразованные точки M*(xi*, yi*), i=1,…n, в плоскости X*OY* могли быть аппроксимированы линейной зависимостью

Рис.4.5. Схема метода выравнивания

Параметры А и В находятся методом наименьших квадратов

(см. пункт 4.2.2).

133

Аппроксимация

n Пример 4.2. Пусть заранее известно, что экспериментальные точки M(xi, yi), i=1,2,…n, заданы табл. 4.1 и не лежат на одной прямой. А эмпирическая формула имеет вид:

Решив эту систему относительно a, b и подставив их значения в выражение (4.34), получим нужную эмпирическую формулу. Насколько она хороша, можно оценить приведенным выше способом.

134

Аппроксимация

4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel

Имеется информация об уровне прибыли у в зависимости от размера х капиталовложения:

Ставится задача о построении аппроксимирующей функции, которую часто называют эмпирической формулой, y=ϕ(x) , значения которой при x=xi возможно мало отличались бы от опытных данных yi (i=1,2,..,n).

Приложение Excel позволяет решить эту задачу различными способами. Рассмотрим некоторые из них.

4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов

Пусть имеются основания предполагать, что зависимость, заданная табл. 4.2 линейна, т.е.

Если бы удалось найти коэффициенты a и b , то можно было

бы сделать предположения о динамике бизнеса и возможном коммерческом состоянии предприятия в будущем.

Последовательность действий.

1.Заготовим таблицу, как показано на рис.4.6. Введем

значения xi и yi из табл. 4.2. Столбцы D, E, F заполним в соответствии с указанными в заголовках формулами.

2.В ячейках В14:F14 вычислим суммы элементов соответствующих столбцов, используя автосуммирование.

3.Искомые параметры а и в разместим соответственно в ячейках D2 и E2. Содержимое ячейки E2 представим в

пользовательском формате вида

+#0,000” X”; -#0,000” X”,

135

Аппроксимация

так, чтобы отображался и знак полюс или минус, и символ «Х».

Рис. 4.6. Построение линейной зависимости МНК

4.В ячейке К3 сформируем число, равное количеству экспериментальных точек. Для универсальности расчетов здесь полезно использовать функцию СЧЕТ(<область просмотра> ) –

подсчет в <области просмотра> количества числовых ячеек. Пустые ячейки, логические значения и тексты пропускаются. Таким образом в ячейку К3 запишем формулу К3=СЧЕТ(В4:В13).

5.В ячейках D2 и Е2 соответственно запишем формулы для

вычисления параметров а и b в соответствии с формулами

(4.26):

D2=(E14*C14-B14*D14)/(K3*E14-B14*B14)

D3=(K3*D14-B14*C14)/(K3*E14-B14*B14)

6.Зная теперь параметры а и b , вычислим значения полученной эмпирической формулы (4.37) для всех заданных аргументов х (столбец G), а затем – среднеквадратичное отклонение по формуле (4.27).

7.Используя Мастер функций, построим графики линий по экспериментальным и расчетным точкам (рис.4.6).

136

Аппроксимация

Таким образом, если понадобится вычислить ожидаемое значение прибыли y в будущем, например, при капиталовложениях в x=12 условных единиц, нужно подставить это значение в найденную функцию: y=0,64+1,8*12=22,24.

4.4.2.Построение линейной эмпирической формулы

сиспользованием встроенных функций ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ

Для построения линейной эмпирической формулы в приложении Excel предусмотрены встроенные функции ЛИНЕЙН

и ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические.

ЛИНЕЙН(<известное Y>;<известное X>) – вычисляет

коэффициенты линеного уравнения регрессии для множества значений независимой переменной Х и зависимой переменной Y Результаты выводятся в две смежные ячейки – сначала коэффициент при х, затем свободный член.

Поскольку X и Y являются массивами, то функция вводится как функция обработки массивов:

∙выделяются две смежные ячейки для результатов;

∙вводится функция;

∙нажимаются клавиши Ctrl+Shift+Enter.

ТЕНДЕНЦИЯ(<известное Y>;<известное X>;<новое х>) – вычисляет ожидаемое новое значение у для нового х, если

известны некоторые опытные значения Х и Y.

Ввод этой функции аналогичен вводу функции ЛИНЕЙН.

1) Для исходных данных, заданных табл. 4.1, найдем коэффициенты линейной эмпирической формулы y=a+bx, используя функцию ЛИНЕЙН.

Последовательность действий

Таблица исходных данных приведена рис.4.7.

Выделим ячейки E4:F4 и введем формулу: =ЛИНЕЙН($C$6:$С$15;$В$6:$В$15), используя Мастер функции.

137

Аппроксимация

Результаты в ячейках E4 и F4 можно интерпретировать как коэффициенты линейного уравнения y=1,8+0,64 x.

Рис. 4.7. Определение коэффициентов линейной регрессии

спомощью функции ЛИНЕЙН

2)Для тех же исходных данных, приведенных на рис.4.7,

вычислим ожидаемое новое значение у для нового значения х, используя функцию ТЕНДЕНЦИЯ.

Последовательность действий

∙Вычисления делаются в предположении, что х и у зависят

линейно.

∙Новые значения х запишем в ячейках E8:E15.

∙Результаты вычислений новых значений у будем записывать в ячейки F8:F15.

∙Выделим ячейку F8 и с помощью Мастера функций введем формулу: =ТЕНДЕНЦИЯ($C$6:$C$15;$B$6:$B$15;F8).

∙Нажмем клавиши Ctrl+Shift+Enter.

∙Скопируем формулу вниз для всех новых значений х.

138

Аппроксимация

4.4.3.Построение эмпирической формулы

сиспользованием надстройки «Поиск решения»

Из рис.4.6 видно, что полученная линейная эмпирическая формула достаточно верно отражает характер искомой функции, но является довольно грубым приближением. В таком случае следует воспользоваться более сложной аппроксимирующей функцией. В

качестве таких функций принято использовать степенные полиномы разной степени:

Поиск коэффициентов такого уравнения осуществляется с помощью надстройки Поиск решения.

Пусть заданы уже известные значения х, у из табл. 4.2 Эти данные поместим в таблицу, как показано на рис.4.8.

В столбцах Прямая, Парабола, Гипербола запишем

квадраты отклонений между экспериментальными значениями уi и аппроксимирующим полиномом первой (Р1(х)), второй (Р2(х)), и

третьей (Р3(х)) степени соответственно для x=xi, i=1,2,..,n. В общем виде это выражения записывается: [ уi – Рm(хi)]2.

Последовательность действий

Для контроля проводимых ниже расчетов принимаем а=1, в=1. С точки зрения подбора решения эти значения можно считать начальным приближением.

1. Итак, введем В3=1, С3=1 (рис. 4.8).

2. В столбце D сформируем квадраты отклонений σ i2 = (yi − a −bxi )2 , т.е. в ячейку D10 введем формулу: D10=($C10- $B$3-$C$3*$B10)^2 и скопируем ее вниз до конца таблицы.

3.В ячейке D20 вычислим сумму квадратов отклонений для всех точек: D20=СУММ(D10:D19).

4.Нашей задачей является минимизация этой суммы путем изменения значений коэффициентов уравнения a и b (ячеек В3 и

С3).

139

Аппроксимация

5. Для поиска оптимальных значений выполним команду:

меню Сервис\Поиск решения

и в появившемся окне «Поиск решения» сделаем следующие установки:

∙целевая ячейка – D20,

∙изменяемые ячейки – В3:С3,

∙поставим флажок в поле минимальному значению,

∙нажмем кнопку выполнить.

Рис.4.8. Схема построения эмпирической формулы

Результаты, полученные в изменяемых ячейках В3, С3, соответствуют коэффициентам уравнения вида: y=1,8+0,64x. Общая погрешность приближения (ячейка D20) составляет 30,69.

Аналогичным образом заполним столбец Е10:Е19 квадратов отклонений для уравнения регрессии второго порядка (параболы).

Здесь: Е10=($C10-$B$4-$C$4*$B10-$D$4*$B10^2)^2

В окне Поиск решения целевая ячейка – Е20, изменяемые ячейки – В4:D4.

Полученный результат соответствует уравнению

у=4,05–4,49х+0,10х2 .

140

Аппроксимация

Аналогично, для уравнения регрессии третьего порядка

(гиперболы): F10=($C10-$B$5-$C$5*$B10-$C$5*$B10^2-$E$5*$B10^3)^2.

В окне Поиск решения целевая ячейка –F20, изменяемые ячейки – В5:E5.

Полученный результат соответствует уравнению

у= –2,03+4,97х–1,07х2 +0,07x3.

Точно так же можно сформировать уравнение регрессии любого порядка, при этом с повышением порядка уравнения регрессии погрешность приближения будет уменьшаться. Это четко прослеживается по значениям ячеек D20:F20, где

сформированы суммы квадратов отклонений для уравнений регрессии первого, второго и третьего порядков.

Графическое отображение результатов вычисления приведено на рис.4.9 для полученных выше уравнений регрессии.

Рис.4.9.Графическое отображение аппроксимирующих полиномов

и экспериментальных данных

Таким образом, увеличение степени аппроксимирующего полинома снижает погрешность. Самая высокая степень такого уравнения на единицу меньше числа экспериментальных точек. В

рассмотренном примере теоретически возможен полином девятой степени. На практике, однако, не следует стремиться к полному устранению погрешности, поскольку и сами экспериментальные данные не являются точными.

141