Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Численные методы решения нелинейных уравнений

C геометрической точки зрения этом метод означает, что касательные в точках Bn [xn, f(xn)] мы заменяем прямыми, параллельными касательной к кривой y = f(x) в ее точке B0

[x0,f(x0)].

GЗамечание.. Метод особенно удобен, когда производная f’(x) сложна, или когда функция y=f(x) задана таблично.

3.3. Системы нелинейных уравнений

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений. В отличие от систем линейных уравнений

не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях системы можно решить непосредственно. Обычно используются итерационные методы,

например, метод простой итерации (МПИ).

Систему уравнений:

F1 (x1 , x2 ,..., xn ) = 0 ü

F2 (x1 , x2 ,..., xn ) = 0ïï

ý

............................. ï Fn (x1 , x2 ,..., xn ) = 0ïþ

Алгоритм решения этой системы напоминает метод Гаусса – Зейделя, используемый для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть в результате k-й итерации получены значения

неизвестных x1(k ) = a1 ; x2(k ) = a2 ; …; xn(k ) = an . Тогда выражения

для неизвестных на следующей итерации имеют вид

113

Численные методы решения нелинейных уравнений

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока

изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут меньше наперед заданного малого числа ε. Успех во

многом определяется удачным выбором начального приближения неизвестных. Они должны быть достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.

Кроме итерационного метода (МПИ) для решения систем нелинейных уравнений применяют и другие, например, метод Ньютона, Брауна и др. [8,12].

3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel

Найти корни уравнения из примера 3.2.

x-tg(x)=0. (3.18)

Первый этап решения (этап отделения корней) приведен в разделе 3.1. Искомый корень уравнения находится на отрезке

x [4;4,5] , что и видно на графике (рис. 3.9), выполненном средствами приложения Excel.

114

Численные методы решения нелинейных уравнений

Этап уточнения корня реализуем средствами Excel. Продемонстрируем это на примере метода половинного деления.

Схемы расчетов для методов касательных и хорд мало чем отличаются от приведенной ниже схемы.

Последовательность действий

1.Подготовим таблицу, как покозано на рис.3.10 и введем значения a, b, ε соответственно в ячейки В3, В4, В5

2.Заполним первую строку таблицы:

ØЕ4=В3, F4=B4, G4=E4-TAN(E4), для вычисления f(a),

Øаналогично, в ячейки H4,I4, J4 введем формулы для вычисления f(b), xn=(a+b)/2, f(xn);

Øв ячейке К3 вычислим длину отрезка [a, b].

3.В ячейки E5, F5 введем формулы для формирования концов вложенных отрезков в соответствии с алгоритмом, изложенным в разделе 3.2.1:

ØE5=ЕСЛИ(J4*H4<0;I4;E4);

ØF5=ЕСЛИ(J4*H4>0;I4;F4).

4.Выделим ячейки G4:K4 и скопируем их вниз на одну строку.

5.Выделим ячейки E5:K5 и скопируем их вниз до конца таблицы.

Деление отрезков продолжаем до тех пор, пока длина последнего не станет меньше заданного ε, т.е. до тех пор, пока не

выполнится условие b − a < ε .

Рис. 3.10. Схема решения нелинейного уравнения методом дихотомии.

115

Численные методы решения нелинейных уравнений

Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса, т.е. определить номер итерации, для которой выполнится условие b − a < ε , воспользуемся Условным форматированием,

Использование Условного форматирования наглядно демонстрирует ход итерационного процесса. Из рис.3.10 видно, что за приближенное решение нашего уравнения (3.18) с заданной точностью ε =0,1 принимается 3-я итерация, т.е. x* ≈ 4,469.

3.4.1.Решение нелинейных уравнений

сиспользованием надстройки «Подбор параметра»

Решение нелинейных уравнений можно реализовать в приложении Excel с использованием надстройки Подбор параметра.

Найдем корни уравнения (3.18), рассмотренного выше.

За нулевое приближение решения уравнения, как это видно из рис.3.9, можно принять х0 =4 или х0 =4,5.

Последовательность действий

1.Заготовим таблицу, как показано на рис.3.11. Введем в ячейку А2 значение нулевого приближения корня, х0 =4.

2.Значение ячейки В2 будет изменяться в процессе решения

(подбора параметра). Первоначально введем туда значение х0,

т.е. 4.

3.Введем в ячейку С2 формулу левой части уравнения (3.18), т.е.

С2=В2-TAN(В2).

4.Зададим команду: меню Сервис\Подбор параметра.

5.В появившемся окне Подбор параметра сделаем установки, как показано на рис.3.11.

116

Численные методы решения нелинейных уравнений

Рис.3.11.Решение нелинейного уравнения с помощью надстройки «Подбор параметра»

Если все было сделано правильно, то в ячейке В4 будет

получено приближенное значение корня нашего уравнения (рис.3.11). Можно повторить счет для х0 =4,5.

117

Аппроксимация

Глава 4. Аппроксимация

«Аппроксимация (от лат. Approximo –

приближаюсь) – замена одних математических объектов другими, близкими к исходным»

Математический энциклопедический словарь

4.1. Задача и способы аппроксимации

Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) (известной или неизвестной) другой функцией ϕ(х), близкой к f(x). Как правило, функция ϕ(х) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» при аналитических и вычислительных операциях. Такую замену называют

аппроксимацией или попросту – приближением функции f(x)

функцией ϕ(х).

Таким образом, задача аппроксимации функции f(x) функцией ϕ(х) состоит в построении функции ϕ(х) близкой к функции f(x) на некотором отрезке [a,b], т.е.

Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов, а именно:

1.Что известно о функции f(x). Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень ее гладкости.

2.Какую функцию ϕ(х) выбрать в качестве аппроксимирующей функции.

3.Что понимать под близостью между функциями f(x) и ϕ(х), т.е. какова степень приближения (4.1).

Термин близости (отклонения) двух функций понимается по- разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим две, а именно: интерполирование и среднеквадратичное приближение.

118

Аппроксимация

4.2.Интерполирование функций

4.2.1.Постановка задачи интерполирования

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем [9, 12]. На отрезке [a,b] заданы n+1 точек x0, x1,…,xn , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции у=f(x) в этих узлах: y0=f(x0), y1=f(x1),…,yn=f(xn).

Требуется построить функцию ϕ(х) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и функция f(x), т.е.

ϕ(х0)=y0, ϕ(х1)=y1,…,ϕ(хn)=yn.. (4.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую у=ϕ(х) некоторого определенного типа,

проходящую через заданную систему точек (рис.4.1)

Рис.4.1. Геометрический смысл задачи интерполирования.

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции взять многочлен Pn(х) степени не выше n, удовлетворяющий условиям:

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции у=f(x) в точках х [х0, хn], отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием

119

Аппроксимация

функции. С другой стороны, имея интерполяционную зависимость (4.4) можно сделать прогноз о поведении функции у=f(x) вне отрезка [a,b], это уже называется экстраполяцией.

Таким образом, под интерполяцией понимается нахождение

приближенных промежуточных значений таблично заданной функции строго внутри таблицы, тогда как экстраполяция –

нахождение приближенных значений функции за пределами промежутка [x0, xn].

G Понятие интерполирование и экстраполирование становятся очевидными, зная их латинское происхождение: inter – между, extra – вне, polire – делать гладкими.

4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [a,b] функция у=f(x) задана таблично, т.е. задана для n+1 значений аргумента xi, (i=0,1,..,n) и принимает соответствующие значения yi=f(xi), ( i=0,1,..,n).

Поставим задачу найти алгебраический многочлен (полином):

т.е. имеющий в заданных узлах xi, (i=0,1,..,n) те же значения, что и функция f(x).

Сам многочлен Ln(x) называется интерполяционным полиномом, а задача – полиномиальной или параболической интерполяцией.

Найти многочлен Ln(x) – это значит найти его коэффициенты a0, a1,…,an. Для этого имеется n+1 условие (4.6),

которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ai, (i=0, 1,…,n):

120

Аппроксимация

где xi и yi (i=0,1,…,n) – табличные значения аргумента и функции Из курса алгебры известно, что определитель этой системы:

отличен от нуля и, следовательно, система (4.7) имеет

единственное решение.

Определив коэффициенты a0, a1,…,an из системы (4.7),

получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа

для функции f(x):

В сокращенном виде его можно записать так:

Существует доказательство [9, 12], что по заданным n+1

значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (4.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n=1) и второй (n=2) степени.

121

Аппроксимация

При n=1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x0, y0) и (x1, y1), и многочлен Лагранжа

имеет вид

называются соответственно формулами линейной и квадратичной интерполяции.

n Пример 4.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (4.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция

+ 81× (x -1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 2x2 + 3x -1. (5 -1)(5 - 2)(5 - 3)

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х=4:

122