Информатика_2 / Раздел2.Методы численного интегрирования

Пусть функция у=f(x) (f(x)>0) непрерывна для хÎ [a,b], тогда определенный интеграл пропорционален площади криволинейной трапеции, образованной подынтегральной функцией на отрезке [a,b] и прямыми x=a, x=b

Идея численного интегрирования заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто.

Разобьем отрезок [a, b] на n равных отрезков с шагом h,

x₀ =a, x _i+1=x _i+h, y_i=f(x_i), i=0,1,2, ……,n-1.

Криволинейная трапеция соответственно разобьется на n элементарных криволинейных трапеций. Каждую ЭКТ заменяем фигурой, площадь которой вычисляется довольно просто и она равна S_i .

Сумму площадей всех этих ЭКТ назовем интегральной суммой:

(2.1)

Формула для приближенного вычисления интеграла (ФЧИ) имеет вид:

(2.2)

Точность вычисления по формуле (2.2) зависит от шага h, т.е. от числа разбиений n.

Увеличивая n интегральная сумма приближается к точному значению интеграла, т.е. формулу (2.2) можно использовать, если известна степень точности такого приближения. Для оценки этой точности используем метод половинного шага.

Алгоритм метода половинного шага

Циклически повторяем следующую последовательность действий:

1. Строим равномерную сетку W_n , т.е. разбиваем отрезок интегрирования [a, b] на n равных отрезков с шагом h=(b-a)/n.

2. Находим интегральную сумму по формуле (2.1).

3. Повторяем пункты 1, 2 с шагом h/2 для 2n, т.е. строим сетку W_2n и интегральную сумму (2.1). Получили два приближенных значения интеграла, две итерации.

4. Если две соседние итерации близки, т.е.

(2.3)

то за приближенное значение интеграла (1) с точностью e принимаем :

(2.4)

Если условие (2.3) не выполняется, то надо вернуться на пункт 3, т.е. еще раз уменьшить шаг вдвое и так до тех пор, пока условие (6) не будет выполнено.

Таким образом, можно записать формулы

для метода (левых) входящих прямоугольников

для метода (правых) выходящих прямоугольников

Следует заметить, что при вычислении суммы площадей фигур по методу входящих прямоугольников не учитывается последняя точка отрезка, а по методу выходящих прямоугольников – первая точка.

для метода средних прямоугольников

для метода трапеций